6.3.2 6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

6．3．2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3．3　平面向量加、减运算的坐标表示 课程标准 核心素养 1．借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 2．会用坐标表示平面向量的加减运算． 借助平面直角坐标系及平面向量基本定理，学会平面向量的坐标表示及加减运算．(数学抽象，数学运算) 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 在平面内，e1，e2是两个互相垂直的非零向量，这个平面内的任一向量是否都能用这两个向量来表示？表示是否唯一？ 答案：由平面向量基本定理可知，平面内的任一向量都可以用e1，e2来表示，且表示方法是唯一的． 2．平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj．平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)． (2)在直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)． 如果a＝xi＋yj，那么能不能说向量a的坐标为(x，y)，即a＝(x，y)? 答案：不能．当a＝xi＋yj，i，j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量时，才能把(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)． 根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1． 解：a＝(2，3)，b＝(－2，3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)． 3．平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 向量的终点坐标与此向量的坐标一定完全相同吗？ 答案：向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点的坐标才相同． 已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝(　　) A．(－2，1) B．(2，－1) C．(2，0) D．(4，3) B　解析：b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，故选B． 知识点一 平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b．四边形OABC为平行四边形． (1)求向量a，b的坐标； (2)求向量的坐标； (3)求点B的坐标． 解：(1)作AM⊥x轴于点M， 则OM＝OA cos 45° ＝4×＝2， AM＝OA sin 45° ＝4×＝2． ∴A(2，2)，故a＝(2，2)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°． 又∵OC＝AB＝3， ∴C(－，)，∴＝＝(－，)， 即b＝(－，)． (2)＝－＝(，－)． (3)＝＋＝(2，2)＋(－，) ＝(2－，2＋)． ∴点B的坐标为(2－，2＋)． 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标． 在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标． 解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)， 则a1＝|a|cos 45°＝2×＝， a2＝|a|sin 45°＝2×＝， b1＝|b|cos 120°＝3×(－)＝－， b2＝|b|sin 120°＝3×＝， c1＝|c|cos (－30°)＝4×＝2， c2＝|c|sin (－30°)＝4×(－)＝－2． 因此a＝(，)，b＝(－，)，c＝(2，－2)． 知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示 (1)已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求，，＋，－． (2)已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)和D(－2，3)，试用坐标来表示＋＋． (1)解：∵A(4，6)、B(7，5)、C(1，8) ∴＝(7，5)－(4，6)＝(3，－1)， ＝(1，8)－(4，6)＝(－3，2)， ＋＝(3，－1)＋(－3，2)＝(0，1)， －＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)