6.3.1 平面向量基本定理（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3．1　平面向量基本定理 课程标准 核心素养 1．理解平面向量基本定理及其意义． 2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量． 1．能理解平面向量基本定理的推导过程．(数学抽象) 2．能运用平面向量基本定理解决有关问题．(直观想象) 平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． (2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 　(1)平面向量的基底是唯一的吗？ 答案：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任一向量都可以用这一基底唯一表示． (2)若e1，e2是一个平面内的一组基底，则集合{a|a＝λ1e1＋λ2e2，λ1，λ2∈R}表示的是什么？ 答案：集合表示的是这个平面内的所有向量，其中当λ1＝0时，a与e2共线；当λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝λ2＝0时，a为零向量． 判断正误． (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底．(　　×　　) (2){0，e}可以作为基底．(　　×　　) (3)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)表示该平面内所有非零向量．(　　×　　) 解析：(1)只有不共线的两个向量才可以作为基底． (2)由于0和任意向量共线，故{0，e}不可作为基底． (3)当λ1＝λ2＝0时，λ1e1＋λ2e2表示零向量． 知识点一 平面向量基本定理的理解 (1)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 (2)如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是(　　) A．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2可以不唯一 C．若有实数λ1、λ2使λ1e1＝λ2e2，则λ1＝λ2＝0 D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2不一定存在 (1)ACD　解析：选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选ACD． (2)C　解析：选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1，e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1，λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1，λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确． 理解平面向量基本定理的注意点 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． (1)(多选)设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中能作为基底的是(　　) A．e1，e2 B．e1＋e2，3e1＋3e2 C．e1，5e2 D．e2，e1－e2 ACD　解析：因为3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，所以e1＋e2与3e1＋3e2这两向量共线不可作为基底．其余各组中的两个向量都可作为平面内的一个基底． (2)已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________． 3　解析：因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线． 由平面向量基本定理得所以 所以x－y＝3． 知识点二 用基底表示向量 如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，，． 解：因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以＝＝a，＝＝＝b． ＝＋＋ ＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a． [探究]　本例中若取BC的中点G，试表示出AG． 解：＝＋＋ ＝－b＋a＋b＝a－b， 所以＝＋＝＋ ＝b＋a－b＝a＋b． 用基底表示向量的实质及注意点 (1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量． 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，． 解：方法一　由题意知， ＝＝＝a， ＝＝＝b． 所以＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝a＋b． 方法二　设＝