6.2.4 第1课时 向量的数量积(一)（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

6．2．4　向量的数量积 第1课时　向量的数量积(一) 课程标准 核心素养 1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其几何意义． 2．会求平面向量的数量积． 1．理解平面向量数量积的物理背景．(数学抽象) 2．会求向量的夹角及向量的数量积．(数学运算) 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)显然，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b． 求两向量夹角时应注意什么问题？ 答案：求两向量夹角时，两向量必须共起点，否则平移后再确定． 在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° D　解析：由题意知，∠ACB＝30°，所以与的夹角为150°，故选D． 2．向量的数量积及其几何意义 数量积的定义 数量积的几何意义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos_θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos_θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为0 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量 已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b上的投影向量是________． b　解析：向量a在向量b上的投影向量是|a|cos 60°＝4××b＝b． 3．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量 向量数量 积的性质 (1)a·e＝e·a＝|a|cos_θ (2)a⊥b⇔a·b＝0 (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|， 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝． (4)|a·b|≤|a|·|b| 非零向量的数量积是否可为正数、负数和零，其数量积的符号由什么来决定？ 答案：由两个非零向量的夹角决定． 当0°≤θ<90°时，非零向量的数量积为正数． 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零． 当90°<θ≤180°时，非零向量的数量积为负数． 　已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3． (1)若θ＝135°，则a·b＝－3； (2)若a∥b，则a·b＝±6； (3)若a⊥b，则a·b＝0． 知识点一 求向量的夹角 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 解：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°． 以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b． 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°． 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°． 求向量夹角的步骤及注意点 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ． 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° C　解析：如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠C＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°．故选C． 知识点二 向量数量积的几何意义 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中心． (1)求在上的投影向量； (2)求在上的投影向量． 解：(1)如图，连接AD． ∵D为BC的中点，AB＝AC， ∴AD⊥BC， 设与同方向的单位向量为e，又BD＝DC＝， 且与的夹角为150°， ∴在上的投影向量为||cos 150°e＝－e＝－＝－＝． (2)如图，延长CB至点M，使BM＝CD， 过点M作AB延长线的垂线MN，并交AB的延长线于点N． 易知＝，BN＝． 在上的投影向量即为在上的投影向量． 又MN⊥BN，BN＝，与的夹角为150°， 故在上的投影向量为＝－， 即在上的投影向量为－． 求投影向量的方法 (1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量． (2)首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|