6.2.3 向量的数乘运算（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

6．2．3　向量的数乘运算 课程标准 核心素养 1．通过实例分析，掌握平面向量数乘运算的概念及运算律，理解其几何意义． 2．了解平面向量线性运算的性质及其几何意义． 3．理解两个平面向量共线的充要条件． 1．能理解向量数乘运算知识的形成过程，体会数学抽象在概念及性质的产生发展过程中的作用．(数学抽象) 2．能根据平面向量线性运算的性质对向量进行准确的线性运算．(数学运算) 1．向量数乘的定义 定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度与方向 (1)|λa|＝|λ||a|． (2)λa(a≠0)的方向 特殊情形 (1)当λ＝0时，λa＝0． (2)当λ＝－1时，(－1)a＝－a 若向量a是非零向量，则向量与向量a有什么关系？ 答案：因为向量a是非零向量，所以|a|>0，根据数乘向量的几何意义可知：是与向量a同向的单位向量． 若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　　) A．b＝2a B．b＝－2a C．a＝2b D．a＝－2b A　解析：因a，b方向相同，故b＝2a．故选A． 2．向量数乘的运算律 (1)设λ，μ为实数，那么 ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． (2)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 化简：2(3a＋4b)－8a＝________． －2a＋8b　解析：原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b． 3．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 1．向量共线与线段共线的区别 向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线；而两条线段共线时，这两条线段必定在同一条直线上． 2．向量共线定理的作用 向量共线定理可以证明线段平行，也可以证明三点共线． 判断正误． (1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa．(　　×　　) (2)若b＝λa，则a与b共线(其中λ为实数)．(　　√　　) (3)若λa＝0，则a＝0(其中λ为实数)．(　　×　　) (4)若b∥λa，则a与b共线．(　　×　　) 解析：(1)当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一．当a＝0，b≠0时，不存在实数λ． (2)由向量共线定理可知其正确． (3)若λa＝0，则a＝0或λ＝0． (4)λ＝0时，a与b可能不共线． 知识点一 向量的线性运算 化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9； (2)－2； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a． 解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a． (2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0． (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c． 向量线性运算的技巧 (1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． (1)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． (2)已知a与b，且5x＋2y＝a，3x－y＝b，求x，y． 解：(1)原式＝a－b－a＋b＋2b－a ＝a＋b ＝－a＋b ＝－(3i＋2j)＋(2i－j) ＝－i－5j． (2)联立方程组解得 知识点二 向量共线的判定及应用 (1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线． (2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值． (1)证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2， ∴＝－＝e1－4e2． 又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴＝2， ∴∥． ∵AB与BD有公共点B， ∴A，B，D三点共线． (2)解：由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使＝λ， 即－＝λ(－)， 所以＝(1－λ)＋λ， 故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1． [探究]　本例(1)中条件“＝2e1－8e2”改为“＝2e1＋ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？ 解：因为A，B，D三点共线，则与共线． 设＝λ(λ∈R)， ∵＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∴2e1＋ke2＝