6.2.2 向量的减法运算（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

6．2．2　向量的减法运算 课程标准 核心素养 1．借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算法则． 2．理解平面向量减法运算的几何意义． 1．会运用向量减法的运算法则进行向量计算．(数学运算) 2．会综合运用向量加、减法的几何意义解决问题．(数学抽象) 1．相反向量 定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量； (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0 若两个非零向量a与b互为相反向量，则a与b应具备什么条件？ 答案：①长度相等；②方向相反． 已知非零向量m与n是相反向量，则下列说法不正确的是(　　) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反 A　解析：由条件可知，当m≠0且n≠0时B，C，D项都成立，故选A． 2．向量的减法 定义 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量．求两个向量差的运算叫做向量的减法 几何意义 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示 文字叙述 如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量 若a，b是不共线向量，|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？ 答案：如图所示，设＝a，＝b．根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有＝a＋b，＝a－b．因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长． 在菱形ABCD中，下列等式不成立的是(　　) A．－＝ B．－＝ C．－＝ D．－＝ C　解析：如图，根据向量减法的三角形法则知A，B，D均正确；C中，－＝－－(＋)＝－2≠．故选C． 知识点一 向量的减法运算 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c． 解：方法一　如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c． 方法二　如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c． 求作两个向量差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后再作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c．求作：b＋c－a． 解：方法一　以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD， 则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a． 方法二　作＝＝b， 连接AD，则＝－＝c－a， ＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a． 知识点二 向量减法法则的应用 化简：(1)－＋； (2)＋＋－－． 解：(1)－＋＝＋＝0． (2)＋＋－－＝＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＋＝0＋＝． 1．向量减法运算的常用方法 2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 化简下列式子： (1)－－－； (2)(－)－(－)． 解：(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0． (2)原式＝－－＋ ＝(－)＋(－)＝＋＝0． 知识点三 向量减法的应用 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，． 解：因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c，＝－＝b－a， 故＝＋＝b－a＋c． [探究]　若将本例中的条件“点B是平行四边形ACDE外一点”改为“点B是平行四边形ACDE内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？ 解：因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c，＝－＝b－a， ＝＋＝b－a＋c． 利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意 (1)一个关键： 一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)三点注意： ①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系； ②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律； ③注意在封闭图形中利用多边形法则． 如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量： (1)；(2)；(3)－； (4)＋；(5)－． 解：(1)＝－＝c－a． (2)＝－＝d－a． (3)－＝＝－＝d－b． (4)＋＝－＋－＝b－a＋f－c． (5)－＝－－(－)＝－＝f－d． 1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)