6.2.1 平面向量的运算（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

6．2　平面向量的运算 6．2．1　向量的加法运算 课程标准 核心素养 1．借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法的运算法则及运算律． 2．理解平面向量加法运算的几何意义． 1．会运用向量加法的运算法则及运算律进行向量的加法运算．(数学运算) 2．会运用向量加法的几何意义解决问题．(数学抽象) 1．向量加法的定义：求两个向量和的运算． 2．向量加法的运算法则 向量求和的法则 图示 几何意义 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和 3．向量加法中的常见结论 特殊规定 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 特殊结论 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立 两个物理模型 (1)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型； (2)力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型 (1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ 答案：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则． (2)当两非零向量a，b共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？ 答案：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用． 在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．＝ B．＋＝ C．＝＋ D．＋＝0 C　解析：因为＝＋≠＋，所以C错误． 4．向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 下列各式不一定成立的是(　　) A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a C．＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b| D　解析：A，B，C项满足向量加法的运算律，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．故选D． 知识点一 向量加法法则的应用 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c． 解：法一　如图①，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求． 法二　如图②，(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；(2)作▱AOBC，则＝a＋b；(3)再作向量＝c； (4)作▱CODE，则＝＋c＝a＋b＋c．则即为所求． 三角形法则与平行四边形法则的区别与联系 用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点；用平行四边形法则求和向量，要注意“共起点”．两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其他位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用． 如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c． 解：作法：在平面内任取一点O，如图所示． 作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c． 知识点二 向量加法运算律的应用 (1)化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋． (2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： ①＋＋； ②＋＋＋． 解：(1)①＋＝＋＝； ②＋＋＝＋＋＝0； ③＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0． (2)①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝； ②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0． 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简： (1)＋＋； (2)＋＋＋． 解：(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝． (2)＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝0＋0＝0． 知识点三 向量加法在实际问题中的应用 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 解：作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中， ||＝||＝|v水|＝10 m/min， ||＝|v船|＝20 m/min， ∴cos α＝＝＝， ∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向． [探究]　若本例中航行方向改为“若船沿垂直于水流的方向航行”，其他