6.1 平面向量的概念（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

6．1　平面向量的概念 课程标准 核心素养 1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． 2．理解平面向量的几何表示和基本要素． 1．能准确理解平面向量的有关概念．(数学抽象) 2．正确理解平面向量的几何表示及基本要素．(直观想象) 1．向量的定义及表示 向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量 向量的表示 (1)有向线段：具有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度． (2) 向量可以比较大小吗？ 答案：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B　解析：①②③不是向量，④⑤是向量．故选B． 2．向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量．向量a，b平行，记作a∥b．规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b．向量具有大小和方向两个要素，与起点无关．两个向量只要大小相等和方向相同，则这两个向量就是相等向量 若平行向量有相同的起点，那么它们是否一定有相同的终点？ 答案：不一定，只有当两个平行向量相等时，它们才有相同的终点． 如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号)． (1)与；(2)与；(3)与；(4)与． (1)(4)　解析：由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：＝，≠，≠，＝． 知识点一 向量的有关概念 判断下列命题是否正确，请说明理由． (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行； (5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反． 解：(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小． (2)不正确．由|a|＝|b|只能判定两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． (3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b． (4)不正确．依据规定：0与任意向量平行． (5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定． 向量有关概念的判断策略 对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量；还有如单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无关．零向量的模为零，方向则是任意的． 给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________． ③　解析：①错误．若b＝0，则①不成立； ②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同； ③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上． 知识点二 相等向量与共线向量 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c． (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与a，b，c相等的向量． 解：(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，． (2)与a共线的向量有，，，，，，，，． (3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，． [探究]　在本例条件不变的情况下，写出与向量相等的向量． 解：相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以题图中与向量相等的向量有，，． 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形． (1)与向量相等的向量为________； (2)若||＝3，则向量的模等于________． (1)，　(2)6　解析：(1)在平行四边形ABCD和ABDE中，∵＝，＝，∴＝． (2)由(1)知，＝， ∴E，D，C三点共线，||＝||＋||