第10章 概率 章末回顾与提升（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

一、互斥事件与对立事件 1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况． 2．若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 3．设事件A的对立事件是，则P(A)＝1－P()． 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题． (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 解：把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2．“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种； “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种； “甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种． 因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20． (1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝． (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝． [训练1] 　在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和．在同一时间内，求： (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率； (2)至少有一个气象台预报准确的概率． 解：记事件A＝“甲气象台预报天气准确”，B＝“乙气象台预报天气准确”．显然事件A，B相互独立且P(A)＝，P(B)＝． (1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝． (2)至少有一个气象台预报准确的概率为 P(A∪B)＝1－P()＝1－P()P()＝1－×＝． 二、古典概型 1．古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数k． 2．在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数．这就是我们常说的穷举法．在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏． 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下： (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品． ①用产品编号列出所有可能的结果； ②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率． 解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表： 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0．6，从而可估计该批产品的一等品率为0．6． (2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A1，A9)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A2，A9)，(A4，A5)，(A4，A7)，(A4，A9)，(A5，A7)，(A5，A9)，(A7，A9)，共15种． ②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A5，A7)，共6种． 所以P(B)＝＝． [训练2] 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题： (1)80～90这一组的频数、频率分别是多少？ (2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数． (3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率． 解：(1)根据题意，50～60的这一组的频率为0．01