10.2 事件的相互独立性（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

10．2　事件的相互独立性 课程标准 核心素养 结合有限样本空间，了解两个事件独立性的含义，结合古典概型，利用独立性计算概率． 1．理解相互独立事件的定义及意义．(数学抽象) 2．掌握相互独立事件概率乘法公式，并能解决一些简单的实际问题．(数学建模) 相互独立事件 相互独 立事件 概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立 性质 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立 不可能事件与任何一个事件相互独立吗？必然事件与任何一个事件相互独立吗？ 答案：相互独立．不可能事件的发生对任何一个事件的发生没有影响；相互独立．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响． (1)判断正误． ①“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　　√　　) ②如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的．(　　√　　) (2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 A　解析：对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与事件B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与事件B可能同时发生，所以事件A与事件B不是互斥事件． 知识点一 事件相互独立性的判断 (2021·全国卷新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 B　解析：P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝， P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)， P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)， P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)， P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)， 故选B． 判断两个事件独立性的方法 (1)利用相互独立事件的定义：即P(AB)＝P(A)·P(B)，可以准确地判断两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确． (2)从定性的角度进行分析：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件． 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚正面向上”，事件B是“第二枚正面向上”，事件C是“两枚向上的结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________(填序号)． ①A，B；②A，C；③B，C． ①②③　解析：利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0．5，P(B)＝0．5，P(C)＝0．5，P(AB)＝0．25，P(AC)＝0．25，P(BC)＝0．25． 可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)． 所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立． 知识点二 相互独立事件概率的计算 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险的概率为0．6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率． 解：记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0．5，P(B)＝0．6． (1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”， 则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0．5×0．6＝0．3． (2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”， 则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()·P(B)＝(1－0．5)×0．6＝0．3． [探究]　本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？ 解：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”， 方法一　事件E包括B，A，AB，且它们彼此为互斥事件． 所以P(E)＝P(B＋A＋AB)＝P(B)＋P(A)＋P(AB)＝0．5×0．6＋0．5×0．4＋0．5×0．6＝0．8． 方法二　事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件． 所以P(E)＝1－P()＝1－(1－0．5)×(1－0．6)＝0．8． 与相互独立事件有关的概率问题的求解策略 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“