10.1.2 事件的关系和运算（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

10．1．2　事件的关系和运算 课程标准 核心素养 1．理解事件的关系与运算． 2．通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念． 1．理解互斥事件与对立事件概念．(数学抽象) 2．会用事件的和积定义进行运算．(数学运算) 1．事件的关系 定义 符号 图示 包含 关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等 关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A＝B 在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，A与B应有怎样的关系？ 答案：A⊆B． 2．交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (或和 事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 (或积 事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 3．互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥 事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立 事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 互斥事件与对立事件的区别与联系 (1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生． 而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A∪B不一定是必然事件，亦即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个． (2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立． 判断两个事件是对立事件的条件是什么？ 答案：①看是否是互斥事件，②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是． 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，下列事件中是互斥而不对立的两事件的是(　　) A．“至少有1个黑球”和“都是黑球” B．“至少有1个黑球”和“至少有1个红球” C．“恰有1个黑球”和“恰有2个红球” D．“至少有1个黑球”和“都是红球” C　解析：A，B中两事件能同时发生，D中两事件既互斥又对立．故选C． 知识点一 事件的运算 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}． (1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？ 解：(1)对于事件D，可能的结果为：1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B． (2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A． [探究]　在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？ 解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D． 事件间运算的方法 (1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． (2)利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算． 抛掷相同硬币3次，设事件A＝{至少有一次正面向上}，事件B＝{一次正面向上，两次反面向上}，事件C＝{两次正面向上，一次反面向上}，事件D＝{至少一次反面向上}，事件E＝{3次都正面向上}． (1)试判断事件A与事件B，C，E的关系； (2)试求事件A与事件D的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系． 解：(1)B⊆A，C⊆A，E⊆A，且A＝B＋C＋E． (2)A∩D＝{有正面向上，也有反面向上}，B∪C＝{1次正面向上或2次正面向