8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

第2课时　平面与平面垂直的性质 课程标准 核心素养 1．借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明． 2．能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题． 1．理解并掌握平面与平面垂直的性质定理．(数学抽象) 2．能用平面与平面垂直的性质定理证明有关问题．(逻辑推理) 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 (1)教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ 答案：不一定，也可能平行，相交(不垂直)；只要保证所画的线与两面的交线垂直即可． (2)如图长方体ABCD­A′B′C′D′，在平面DCC′D′中，作直线l⊥DC．你能得出什么结论？ 答案：在平面DCC′D′内，若直线l垂直于交线DC，则直线l垂直于平面ABCD(答案不唯一)． 下列说法错误的是(　　) A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线b B．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β C．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面β D．若平面α⊥平面υ，平面β⊥平面υ，α∩β＝l，则l一定垂直于平面υ C　解析：C错误，若平面α⊥平面β，则在平面α内，平行于α，β交线的直线和平面β平行．故选C． 知识点一 垂直关系的相互转化 m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题： (1)若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β； (2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m； (3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β． 其中正确的命题为(　　) A．(1)(2) B．(3) C．(2)(3) D．(1)(2)(3) B　解析：对于(1)，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故(1)不正确． 对于(2)，如图所示，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB．故(2)不正确． 对于(3)，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α．若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β．故(3)正确．故选B． 空间中垂直关系的相互转化,　　 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下： 若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ C　解析：由线面平行、垂直的有关知识可排除A，B，D；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m′，则m′∥m，由于m⊥β，故m′⊥β，又m′⊂α，则α⊥β．故选C． 知识点二 面面垂直性质定理的应用 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD． (1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB． 证明：(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD， 因为∠DAB＝60°，所以△ABD为正三角形， 因为G是AD的中点，所以BG⊥AD． 因为平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD． (2)如图，连接PG． 因为△PAD是正三角形，G是AD的中点， 所以PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD． 又因为PG∩BG＝G． 所以AD⊥平面PBG． 而PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB． 证明线面垂直的方法及注意点 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线． 如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC． 求证：BC⊥AC． 证明：如图，在平面PAC内作AD⊥PC交PC于点D， ∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，