8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

8．6．3　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的判定 课程标准 核心素养 1．借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理，并加以证明． 2．会应用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直． 1．理解二面角的概念及面面垂直的定义，会求二面角的大小．(数学运算) 2．会用面面垂直的判定定理解决面面垂直的问题．(逻辑推理) 1．二面角 (1)二面角与平面几何中的角的对比 平面几何中的角 二面角 图形 定义 从平面内一点出发的两条射线组成的图形 从一条直线出发的两个半平面组成的图形 表示法 由射线－点(顶点)－射线构成，即为∠AOB 由半平面－线(棱)－半平面构成，记为二面角α­l­β 意义 定量地反映两条直线的位置关系 定量地反映两个平面的位置关系 (2)二面角及二面角的平面角的概念 二面角 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 相关概念 ①这条直线叫做二面角的棱， ②这两个半平面叫做二面角的面 画法 记法 二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q或P­AB­Q 二面角的平面角 二面角的平面角的概念 若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β； ③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α­l­β的平面角是∠AOB 图形 二面角的平 面角的范围 0°≤α≤180° 二面角与平面几何中的角有什么区别？ 答案：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(　　) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 D　解析：如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H­DG­F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定．故选D． 2．面面垂直的定义 定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作：α⊥β 画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直 两个平面垂直的判定 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 怎样理解面面垂直的判定定理？ 答案：定理的关键词是“过另一平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线． 判断正误． (1)二面角的平面角确定的平面与二面角的棱垂直．(　　√　　) (2)对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关．(　　×　　) (3)已知平面α⊥β，α∩β＝a，若b⊥a，则b⊥α或b⊥β．(　　×　　) 解析：(1)由线面垂直的判定定理及二面角的平面角的定义可知其正确． (2)平面角的大小与顶点在棱上的位置无关． (3)若直线b⊂α，则b⊥β；若b⊂β，则b⊥α，否则不成立． 知识点一 二面角及其求法 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB．求二面角B­PC­D的平面角的度数． 解：作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图． 由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE． ∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE． ∴∠BED为二面角B­PC­D的平面角． ∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC． 又AB⊥BC，PA∩AB＝A． ∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB． 设AB＝a，则BE＝＝a，BD＝a． ∴sin ∠BEO＝＝． ∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°． ∴二面角B­PC­D的平面角的度数为120°． [探究1]　本例的条件不变，求二面角B­PA­D的平面角的度数． 解：∵PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD． ∴AB⊥PA，AD⊥PA．∴∠BAD为二面角B­PA­D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，∴二面角B­PA­D的平面角的度数为90°． [探究2]　本例的条件不变，求二面角B­PA­C的平面角的度数． 解：∵PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD． ∴AB⊥PA，AC⊥PA． ∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角． 又四边形ABCD为正方形， ∴∠BAC＝45°， 即二面角B­PA­C的平面角的度数为45°． 确定二面角的平面角的方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． (3)线面垂直法：该法就是利用线面垂直来寻找二