8.6.1 直线与直线垂直（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

8．6　空间直线、平面的垂直 8．6．1　直线与直线垂直 课程标准 核心素养 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系． 2．掌握两异面直线所成角的求法． 1．会用两异面直线所成角的定义求简单的异面直线所成的角．(数学运算) 2．能判断空间中两直线的垂直关系．(直观想象) 　异面直线所成的角 异面直线所成角的定义 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 异面直线所成角的范围 空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90° 两直线垂直的判断方法 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b 如何判断空间两直线垂直？ 答案：通过平移把异面直线转化为相交直线，若两条相交直线所成的角是90°，则两直线垂直． (1)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．30° B．45° C．60° D．90° (2)若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　) A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 (1)C　解析：连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°．故选C． (2)B　解析：∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c． 知识点一 求异面直线所成的角 如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角． 解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG． ∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD， ∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝ CD，GF＝AB． ∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF． ∵AB⊥CD，∴EG⊥GF． ∴∠EGF＝90°． ∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°， ∴EF和AB所成的角是45°． [探究]　将本例变为：如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，求异面直线AD和BC所成的角． 解：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG． 因为E，F分别是AB，CD的中点， 故EG∥BC且EG＝BC＝1， FG∥AD，且FG＝AD＝1． 即∠EGF为所求， 又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°．故异面直线AD与BC所成的角为90°． 求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形的中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角． (2)证明：证明作出的角就是所要求的角(或其补角)． (3)计算：求角度，常利用三角形． (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． 如图所示，在长方体ABCD­EFGH中，AB＝AD＝2，AE＝2． (1)求直线BC和EG所成的角； (2)求直线AE和BG所成的角． 解：(1)连接AC(图略)．∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角． ∵在长方体ABCD­EFGH中，AB＝AD＝2， ∴tan ∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°， ∴直线BC和EG所成的角是45°． (2)∵AE∥BF， ∴∠FBG即是AE和BG所成的角． 易知tan ∠FBG＝， ∴∠FBG＝60°， ∴直线AE和BG所成的角是60°． 知识点二 直线与直线垂直 如图，在空间四边形ABCD中，两条对边AB＝CD＝3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且＝＝，EF＝．求证：AB⊥CD． 证明：如图，过E作EO∥AB，交BD于点O，连接OF，所以＝． 又因为＝，所以＝，所以OF∥CD，所以∠EOF(或其补角)是AB和CD所成的角． 在△EOF中，OE＝AB＝2，OF＝CD＝1． 又EF＝，所以EF2＝OE2＋OF2， 所以∠EOF＝90°．所以AB⊥CD． 证明两异面直线垂直的步骤 (1)作出两异面直线所成的角． (2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系． (3)结论． 如图，正方体ABCD­A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D． 证明：如图，连接BD，交AC于O， 设BB1的中点为E， 连接OE，则OE∥DB1， 所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角． 连接AE，CE，易证AE＝CE， 又O是AC的中点，所以AC⊥OE， 所以AC⊥B1D． 1．如图，在正方体ABCD­