8.5.3 平面与平面平行（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

8．5．3　平面与平面平行 课程标准 核心素养 1．理解并掌握平面与平面平行的判定定理． 2．理解并掌握平面与平面平行的性质定理． 1．会证明平面与平面平行的判定与性质定理．(逻辑推理) 2．能够利用判定定理和性质定理解决一些平行问题．(直观想象) 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒α∥β续表 图形语言 如图，平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？这两个平面平行吗？ 答案：无数条，不平行． 在正方体中，相互平行的面不会是(　　) A．前后相对侧面 B．上下相对底面 C．左右相对侧面 D．相邻的侧面 D　解析：由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D． 2．两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 常用的面面平行的性质：(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；(2)平行于同一个平面的两个平面平行；(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的线段长成比例；(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (1)若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？ 答案：不是． (2)若两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？ 答案：是的． 已知长方体ABCD­A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　A　) A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 知识点一 平面与平面平行的判定 如图，已知在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点．求证：平面MNQ∥平面PBC． 证明：因为四棱锥P­ABCD的底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点， 所以N是AC的中点，所以MN∥PC，又因为PC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC． 因为M，Q分别是PA，PD的中点，所以MQ∥AD∥BC， 又因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC． 因为MQ⊂平面MNQ，MN⊂平面MNQ，MQ∩MN＝M， 所以平面MNQ∥平面PBC． 证明平面与平面平行的思路及步骤 (1)证明两个平面平行，可以用定义，也可以用判定定理．但用定义证明时，需说明两个平面没有公共点，这一点也不容易做到(可用反证法)． (2)用判定定理证明两个平面平行，其步骤如下： 如图所示，在三棱锥S ­ABC中，D，E，F分别是棱AC，BC，SC的中点，求证：平面DEF∥平面SAB． 证明：因为D，E分别是棱AC，BC的中点， 所以DE是△ABC的中位线，DE∥AB． 因为DE⊄平面SAB，AB⊂平面SAB， 所以DE∥平面SAB， 同理可证：DF∥平面SAB， 又因为DE∩DF＝D，DE⊂平面DEF，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面SAB． 知识点二 平面与平面平行的性质定理的应用 如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D． (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长． (1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD． 又α∥β，所以AC∥BD． (2)解：由(1)得AC∥BD，所以＝，所以＝， 所以CD＝，所以PD＝PC＋CD＝． [探究]　在本例中，若点P在α与β之间，则在第(2)问的条件下求CD的长． 解：如图，因为PB∩PD＝P， 所以PB，PD确定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD． 又α∥β，所以AC∥BD，所以△PAC∽△PBD， 所以＝， 即＝，所以＝， 所以PD＝．所以CD＝PC＋PD＝3＋＝． 利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤 (1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条． (2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)． (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上． (4)由定理得出结论． 如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长． 解：∵α∥β，平面PCD∩α＝AB， 平面PCD∩β＝CD， ∴AB∥CD，可得＝． ∵PA＝6，AC＝9，PD＝8， ∴＝，解得BD＝． 知识点三 平面与平面平行的综合应用 如图，在棱长为a的正