8.5.2 直线与平面平行（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

8．5．2　直线与平面平行 1．直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 ⇒a∥α续表 图形语言 (1)若一条直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？ 答案：不一定，也有可能直线在平面内，所以一定要强调直线在平面外． (2)如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？ 答案：平行或直线在平面内． 如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D　解析：由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．故选D． 2．直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 若直线l与平面α平行，则过直线l与平面α相交的平面有多少个？它们与平面α的交线之间有什么关系？ 答案：无数个，它们的交线互相平行． 如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线(　　) A．只和这个平面内的一条直线平行 B．只和这个平面内的一条直线相交 C．和这个平面内的任何一条直线都平行 D．和这个平面内的任何一条直线都不相交 答案：D 知识点一 直线与平面平行的判定 如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝．求证：MN∥平面SBC． 证明：连接AN并延长交BC于P，连接SP． 因为AD∥BC，所以＝， 又因为＝，所以＝，所以MN∥SP， 又MN⊄平面SBC，SP⊂平面SBC， 所以MN∥平面SBC． [探究]　本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC． 证明：连接AC，由平行四边形的性质可知AC必过BD的中点N，在△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，所以MN∥SC，又因为SC⊂平面SBC，MN⊄平面SBC，所以MN∥平面SBC． 1．证明直线与平面平行的关键 关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线．把握几何体的结构特征，合理利用几何体中的三角形的中位线，平行四边形对边平行等平面图形的特点是找线线平行关系的常用方法． 2．用线面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD． 证明：如图，取PD的中点G，连接GA，GN． ∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点， ∴GN∥DC，GN＝DC． ∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点， ∴AM∥DC，AM＝DC， ∴AM∥GN，AM＝GN， ∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG． 又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD， ∴MN∥平面PAD． 知识点二 直线与平面平行的性质定理的应用 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体． 求证：截面MNPQ是平行四边形． 证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC， 所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN． 同理，AB∥PQ，所以MN∥PQ．同理可得MQ∥NP． 所以截面MNPQ是平行四边形． [探究]　若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积． 解：由例题知，四边形MNPQ是平行四边形， 因为AB⊥CD，所以PQ⊥QM，所以四边形MNPQ是矩形． 因为BP∶PD＝1∶1，所以PQ＝5，QM＝4， 所以四边形MNPQ的面积为5×4＝20． 线面平行的性质定理的解题步骤与思路 (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤 (2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后得到线线平行． 如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH． 证明：连接MO．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点． 又∵M是PC的中点， ∴AP∥OM． 又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， ∴AP∥平面BDM． 又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH． 知识点三 直线与平面平行的综合应用 如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l． (1)求证：l∥BC；