8.5.1 直线与直线平行（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

8．5　空间直线、平面的平行 8．5．1　直线与直线平行 课程标准 核心素养 1．了解基本事实4和等角定理． 2．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系． 1．理解和掌握基本事实4和等角定理．(数学抽象) 2．能用基本事实4和等角定理来解决有关问题．(逻辑推理) 1．基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 　____________a ____________b 　____________c 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答案：不一定．它们可能异面，可能相交，也可能平行． 如图所示，在三棱锥S ­MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 A　解析：∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN．同理可证HG∥PN，∴EF∥HG． 2．空间等角定理 (1)定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 (2)推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 答案：不一定，这两条直线可能相交、平行或异面． 已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　B　) A．30° B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对 知识点一 证明直线与直线平行 如图所示，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′． 证明：因为E，E′分别是AB，A′B′的中点， 所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′． 所以四边形EBB′E′是平行四边形， 所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′． 所以EE′∥FF′． [探究]　在本例中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM是梯形． 证明：在正方体中，MN∥A′C′，且MN＝A′C′， 因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC， 所以MN∥AC，且MN＝AC． 又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形． 证明两条直线平行的两种方法 (1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点． (2)利用基本事实4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据基本事实4，显然这两条直线平行．若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行． 如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1­ABCD的棱A1A，C1C的中点． 求证：四边形B1EDF是平行四边形． 证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1(图略)． 因为E是AA1的中点，所以EQ綉A1D1． 又因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B1C1，所以EQ綉B1C1(基本事实4)． 所以四边形EQC1B1为平行四边形．所以B1E綉C1Q． 又因为Q，F是DD1，C1C的中点，所以QD綉C1F． 所以四边形QDFC1为平行四边形．所以C1Q綉DF． 又因为B1E綉C1Q，所以B1E綉DF． 所以四边形B1EDF为平行四边形． 知识点二 等角定理及应用 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1． 证明：如图，连接EE1． ∵E1，E分别为A1D1，AD的中点， ∴A1E1綉AE， ∴四边形A1E1EA为平行四边形， ∴A1A綉E1E． 又A1A綉B1B，∴E1E綉B1B， ∴四边形E1EBB1是平行四边形． ∴E1B1∥EB．同理E1C1∥EC． ∴∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行，且方向相同， ∴∠B1E1C1＝∠BEC． [探究]　在本例中其他条件不变，将“E，E1分别是棱AD，A1D1的中点”改为“E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点”，试证明∠BGC＝∠FD1E． 证明：因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1， 所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形． 所以GC∥D1E，GB∥D1F． 因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同， 所以∠BGC＝∠FD1E． 等角定理实际应用的注意点 等角定理的结论是相等或