8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

8．4．2　空间点、直线、平面之间的位置关系 课程标准 核心素养 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 1．了解空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义．(数学抽象) 2．会判断空间中直线与平面，平面与平面的位置关系．(逻辑推理) 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)异面直线的定义和画法 定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 异面直线是“不同在任何一个平面内的直线”，不是“在两个平面内的直线”，“任何”指的是空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线 画法 如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示 (2)空间中直线与直线的位置关系 位置关系 是否在同一平面内 公共点个数 共面 直线 相交直线 是 1 平行直线 是 0 异面直线 否 0 空间中，没有公共点的两条直线一定平行吗？ 答案：不一定，在平面内没有公共点的两条直线平行，在空间中没有公共点的两条直线可能平行，也可能异面． 不平行的两条直线的位置关系是(　C　) A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．无法判断 2．空间中直线与平面的位置关系 位置关系 定义 图形语言 符号语言 直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A 直线与平面平行 没有公共点 a∥α 直线l在平面α外，则l与平面α就没有公共点吗？ 答案：不一定．直线l在平面α外包括两种情况：当直线l与平面α平行时没有公共点；当直线l与平面α相交时有一个公共点． 如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　) A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 D　解析：直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．故选D． 3．空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 α∥β 没有公共点 两个平面相交 α∩β＝l 有一条公共直线 (1)平面平行有传递性吗？ 答案：有，若α，β，γ为三个不重合的平面，且α∥β，β∥γ，则α∥γ． (2)观察如图长方体ABCD­A′B′C′D′， 在长方体的6个面中，任意两个平面之间的位置关系有几种？ 答案：有两种位置关系：平行与相交，如平面AA′B′B∥平面DD′C′C，平面AA′B′B与平面BB′C′C相交于直线BB′． 若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则β内过点B的所有直线中(　　) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 D　解析：在β中存在无数条与a平行的直线，但是过点B且在β内与a平行的直线只有唯一一条．故选D． 知识点一 两直线位置关系的判定 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中， (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． (1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面 解析：(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形， ∴A1B∥D1C． (2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内． (3)直线D1D与直线D1C相交于点D1． (4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内． 判断空间两条直线位置关系的决窍 (1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线． (2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系． (1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面 (2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)． (1)D　解析：可借助长方体来判断． 如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，线段A′D′所在直线为a，线段AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD­A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′所在直线．故a和c可以平行、相交或异面．故选D． (2)②④　解析：题图①中，GH∥MN． 题图②中，G，H，N三