8.4.1 平面（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

8．4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8．4．1　平　面 课程标准 核心素养 1．了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系．． 2．掌握关于平面基本性质的三个基本事实． 3．会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系． 1．知道平面的概念，会表示平面及水平放置的直观图．(数学抽象) 2．会用符号语言准确的表述几何对象的位置关系．(直观想象) 1．平面的画法与表示 (1)平面的概念 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的． (2)平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向 图示 (3)平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ； ②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD； ③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD． 下列说法中正确的个数为(　　) ①书桌面是平面；②8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；③有一个平面的长是100 m，宽是90 m；④平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念． A．0 B．1 C．2 D．3 B　解析：①错误，因为平面具有延展性；②错误，平面无厚度；③错误，因为平面无厚度、大小之分；④正确，符合平面的概念．故选B． 2．点、直线、平面之间的基本位置的符号表示 文字语言 符号语言 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α 平面α，β相交于l α∩β＝l 直线a与直线b相交于点A，用符号表示能否记为a∩b＝{A}? 答案：一般不记作a∩b＝{A}，而记作a∩b＝A，这里的A既是一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合． 用符号表示“点A在直线l上，l在平面α内”，正确的是(　　) A．A∈l，l∉α B．A⊂l，l⊄α C．A⊂l，l∈α D．A∈l，l⊂α D　解析：由定义可知，点A在直线l上，表示为A∈l，l在平面α内，表示为l⊂α．故选D． 3．与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l (2)基本事实1的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 (1)若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？ 答案：直尺边缘上的其余点都在桌面上． (2)两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？ 答案：不一定，当三点在同一条直线上时，不能判断两个平面重合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个平面，两平面重合． 知识点一 图形语言、文字语言、符号语言的相互转换 用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B； (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上． 解：(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图． (2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图． 　 三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． (3)转化时要注意符号的使用，“∈”或“∉”反映的是点与线，点与面的关系，而“⊂”或“⊄”反映的是直线与平面的关系． 用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC