7.3 复数的三角表示（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

7．3*　复数的三角表示 课程标准 核心素养 1．通过复数的几何意义，了解复数的三角表示；了解复数的代数表示与三角表示之间的关系． 2．了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义． 1．知道复数乘除运算的三角表示及几何意义．(数学抽象) 2．掌握复数的三角式与代数形式的互化．(数学运算) 1．复数的三角形式 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos_θ＋isin_θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 2．辐角主值 规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg_z． 复数的辐角有怎样的特征？ 答案：任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍，复数0因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的． 复数1＋i的辐角主值为(　　) A． B． C． D． C　解析：因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝．故选C． 3．复数三角形式的乘法与除法 运算类型 运算法则 运算公式 复数三角形 式的乘法 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和 r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos_(θ1＋θ2)＋ isin_(θ1＋θ2)] 复数三角形 式的除法 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差 ＝ [cos_(θ1－θ2)＋isin_(θ1－θ2)] 你能根据复数的三角形式来解释i2＝－1的几何意义吗？ 答案：i本身可以用坐标平面上y轴的点(0，1)表示．而i2＝i×i表示把y轴上的点(0，1)绕原点逆时针转90度，就变为x轴上的点(－1，0)． 将复数i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是(　　) A．＋i B．－＋i C．－－i D．－i B　解析：i＝cos ＋isin ，将绕原点按逆时针方向旋转，得到对应的复数为cos ＋isin ＝－＋i．故选B． 知识点一 复数的代数形式化为三角形式 把下列复数表示成三角形式： (1)＋i；(2)－i． 解：(1)r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限， 所以cos θ＝，即θ＝， 所以＋i＝2． (2)r＝＝2，cos θ＝， 又因为－i对应的点位于第四象限， 所以θ＝． 所以－i＝2． 复数的代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)确定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式． 提醒：一般在复数三角形式中的辐角常取它的主值，这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值． 复数z＝－i的三角形式为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 D　解析：因为r＝2，所以cos θ＝，与z＝－i对应的点在第四象限，所以arg(－i)＝，所以z＝－i＝2．故选D． 知识点二 复数的三角形式化为代数形式 分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式： (1)4； (2)(cos 60°＋isin 60°)； (3)2． 解：(1)复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝． 4＝4cos ＋4isin ＝4×＋4×i ＝2＋2i． (2)复数(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°． (cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i ＝＋i． (3)2 ＝2 ＝2． 所以复数的模r＝2，辐角的主值为π． 2＝2cos π＋2isin π ＝2×＋2×i ＝1－i． 复数的三角形式化为代数形式的方法 将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A． 将复数z＝化为代数形式为________． 1－i　解析：z＝＝×cos －i×sin ＝1－i． 知识点三 复数三角形式的乘、除运算 计算： (1)8×4； (2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]； (3)4÷． 解：(1)8×4 ＝32 ＝32 ＝32 ＝32(＋i) ＝16＋16i． (2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)] ＝[cos (225°－150°)＋isin