第9讲 通过求二阶导函数解决导数问题-2023年高考数学专题复习重难考点题型突破之导数、数列（全国通用）

学生版 导数专题 引子: 我们总是对现有的东西不忍放弃，包括认知方式、学习模式以及那些习以为常的思维逻辑。 大脑也喜欢偷懒，面对问题的第一反应是搜索曾经的习惯，让你无法自拔。 如果要有所长进，就必须与过去的自己一刀两段。 只有被逼到了悬崖的边缘，才能放弃幻想，去追求另一片蓝天。 道理我都懂，可再多的道理也无济于事。 道理从来就不是拿来懂的，而是拿来悟的。 有人悟成了诗，有人悟成了歌，有人演绎成了故事，也有人活成了无可奈何…… 第九讲 通过求二阶导函数解决导数问题 思维导图-----知识梳理 1、函数极值的第二判定定理： 若在附近有连续的导函数，且， （1）若则在点处取极大值； （2）若则在点处取极小值 2、二次求导使用背景 （1）求函数的导数，无法判断导函数正负； （2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出. （3）一阶导函数中往往含有或 3、解题步骤： 设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性. 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 思维导图-----典型题型讲练 考点一：利用二阶导数求函数的极值 思维导图-----方法梳理 （1）求函数的导数，无法判断导函数正负；或者解不等式难度较大甚至根本解不出. (2) 设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·全国·高二单元测试）已知函数. (1)若函数在区间（其中）上存在极值，求实数a的取值范围； (2)如果当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 例2．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数 (1)讨论函数在（，）上极值点的个数； (2)当时，.其中为的导函数，求实数m的取值范围. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知函数 若，证明：当时，，当时，； 2．（2022·新疆·模拟预测（理））设函数，其中.当时，讨论单调性； 考点二：利用二阶导数求函数的单调性 思维导图-----方法梳理 （1）求函数的导数，无法判断导函数正负；或者解不等式难度较大甚至根本解不出. (2) 设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·江苏·金陵中学高二期末）函数． (1)求在上的单调区间； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·全国·模拟预测（文））已知. (1)当时，求在处的切线方程； (2)设在上恒成立，求实数的取值范围. 2．（2022·北京朝阳·一模）已知，. (1)若曲线在点处的切线与轴重合，求的值； (2)若函数在区间上存在极值，求的取值范围； (3)设，在（2）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由. 考点三：利用二阶导数求参数的范围 思维导图-----方法梳理 （1）求函数的导数，无法判断导函数正负；或者解不等式难度较大甚至根本解不出. (2) 设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）已知函数 的图象在 点 ( 为自然对数的底数) 处的切线斜率为 ． (1)求实数 的值; (2)若 ， 且存在 使 成立， 求 的最小值． 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若对于任意的，都有，求整数的最大值. 考点四：利用二阶导数证明不等式 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·山东·聊城民慧实验高级中学高二阶段练习）已知函数 (1)若x≥0时，≥0，求实数a的取值范围． (2)当时，求证：． 例2．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（文））已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证： 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·江西上饶·一模（理））已知函数，，其中…为自然对数的底数. (1)当时，若过点与函数相切的直线有两条，求的取值范围； (2)若，，证明：. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求a的值； (2)若，证明：.