第5讲 利用导数研究不等式恒成立问题-2023年高考数学专题复习重难考点题型突破之导数、数列（全国通用）

学生版 导数专题 引子: 我们总是对现有的东西不忍放弃，包括认知方式、学习模式以及那些习以为常的思维逻辑。 大脑也喜欢偷懒，面对问题的第一反应是搜索曾经的习惯，让你无法自拔。 如果要有所长进，就必须与过去的自己一刀两段。 只有被逼到了悬崖的边缘，才能放弃幻想，去追求另一片蓝天。 道理我都懂，可再多的道理也无济于事。 道理从来就不是拿来懂的，而是拿来悟的。 有人悟成了诗，有人悟成了歌，有人演绎成了故事，也有人活成了无可奈何…… 第五讲 利用导数研究不等式恒成立问题 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 思维导图-----典型题型讲练 方法一：分离参数法 思维导图-----方法梳理 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立， 则只需． ③求最值. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·全国·高三专题练习）设，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例2．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（文））已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 例3．（2022·四川省泸县第一中学高二阶段练习（理））已知函数. (1)讨论函数的单调性与极值； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 例4．（2022·河南·三模（文））已知函数（e是自然对数的底数），曲线在点处的切线为. (1)求a，b的值； (2)若不等式在上恒成立，求正实数m的取值范围. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·全国·高三专题练习）已知对，不等式恒成立，则实数a的最小值是（       ） A．e B． C． D． 2．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数（为常数） 1）讨论函数的单调性； 2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 4．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数，． (1)讨论函数在区间的极值； (2)若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围． 方法二：等价转化分类讨论法 思维导图-----方法梳理 等价转化分类讨论法 （1）当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. （2）然后讨论新函数F（x）或者H（x），即转化为含参讨论单调性和最值问题 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·广西柳州·三模（文））已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若为函数的极值点，当，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 例2．（2022·陕西西安·二模（文））已知函数. (1)当时，求函数的单调减区间； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 例3．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知曲线在处的切线方程为，且. (1)求的解析式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 例4．（2022·四川·树德中学高三开学考试（文））已知，设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的取值范围. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·贵州黔东南·一模（文））已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当x>1时，恒成立，求a的取值范围. 2．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数，．若对一切正实数都成立，求实数的取值范围． 3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，． (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，若对任意都有成立，求实数的取值范围． 方法三：双元最值法型 思维导图-----方法梳理 形如：，不等式或者的模型 （或者） 此类题即求在定义域上的最大值与最小值的差≤A 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数. (1)判断的单调性； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对，，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 套路(举一反三)：手