第4讲 导数与函数的极值、最值-2023年高考数学专题复习重难考点题型突破之导数、数列（全国通用）

学生版 导数专题 引子: 我们总是对现有的东西不忍放弃，包括认知方式、学习模式以及那些习以为常的思维逻辑。 大脑也喜欢偷懒，面对问题的第一反应是搜索曾经的习惯，让你无法自拔。 如果要有所长进，就必须与过去的自己一刀两段。 只有被逼到了悬崖的边缘，才能放弃幻想，去追求另一片蓝天。 道理我都懂，可再多的道理也无济于事。 道理从来就不是拿来懂的，而是拿来悟的。 有人悟成了诗，有人悟成了歌，有人演绎成了故事，也有人活成了无可奈何…… 第四讲 导数与函数的极值、最值 思维导图-----知识梳理 1．函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 2、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 思维导图-----典型题型讲练 题型一 函数图象与极值（点）的关系 思维导图-----方法梳理 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点： (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点； (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点 （3）导函数图像与原函数图像： ①导函数看“正负”。 ②原函数看“增减” ③极值点是导函数的“穿越根” ④注意“相切根”只是增减速度发生了改变，不对应极值点。此处举例，可以用及其导函数图像来类比学习 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二开学考试）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（       ） A．当时，函数取得极小值 B．函数在区间上是单调递增的 C．当时，函数取得极大值 D．函数在区间上是单调递增的 例2.设f ′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f ′（x）的图像如图所示，则y＝f（x）的图像最有可能是（ ） A．B．C． D． 例3．（2022·全国·高三专题练习）设函数的导函数为，函数的图像如图所示则（       ） A．的极大值为，极小值为 B．的极大值为，极小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极大值为，极小值为 例4．（2022·宁夏·银川二中高二期末（文））已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）. A．函数在上是增函数 B． C． D．是函数的极小值点 例5．（2022·全国·高二）如图是函数的大致图象，则（       ） A． B． C． D． 1.（2021•西安模拟）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x）且函数y＝（1﹣x）f'（x）的图象如图所示，则下列结