第11讲 导数中的隐零点问题-2023年高考数学专题复习重难考点题型突破之导数、数列（全国通用）

学生版 第11讲 ：导数中的隐零点问题 思维导图-----知识梳理 1、不含参函数的隐零点问题 已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有： ①关系式成立；②注意确定的合适范围. 2、含参函数的隐零点问题 已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有 ①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关. 3、函数零点的存在性 (1)函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. ① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若，那么在不一定有零点 ③ 若在有零点，则不一定必须异号 (2)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一. 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 题型一 不含参数的隐零点问题 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求证：． 例2．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)判断函数的单调性． (2)证明：当时，． 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））已知函数． (1)讨论的单调性． (2)当时，证明：对恒成立． 2．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数. (1)若，求在上的最大值与最小值之差； (2)若，证明： 3．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知函数. (1)若有两个极值点，求实数a的取值范围； (2)当时，证明：. 4．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，证明：. 题型二 含参数的隐零点问题 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数． (1)若曲线在处的切线经过点，求实数a的值； (2)若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：． 例2．（2022·甘肃·一模（文））已知函数，． (1)判断函数的单调性； (2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围． 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·四川南充·二模（理））已知. (1)求在的切线方程； (2)求证：仅有一个极值； (3)若存在，使对任意恒成立，求实数的取值范围. 2．（2022·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知函数(为自然对数的底数，)． (1)求的单调区间和极值； (2)设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围. 题型三 已知参数的取值范围证明不等式 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数 （，e为自然对数的底数）． (1)若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：． 例2．（2022·安徽省桐城中学高三阶段练习（理））已知函数，函数在处取得最大值. (1)求a的取值范围； (2)当时，求证：. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知函数 (1)当时，证明函数有两个极值点； (2)当时，函数在上单调递减，证明 题型四 不等式中含参数问题求参数的整数值 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）已知函数 的图象在点 ( 为自然对数的底数) 处的切线斜率为 ． (1)求实数 的值; (2)若 ， 且存在 使 成立， 求 的最小值． 例2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)（i）证明∶与有相同的零点； （ii）若恒成立，求整数a的最大值. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·陕西·交大附中模拟预测（文））已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，对任意的恒成立，求m的最大值． 2．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若对于任意的，都有，求整数的最大值. 3．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）设函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值； (2)求的单调区间； (3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值. 4．（2022·陕西·模拟预测（文））已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，设函数，若对任意的恒成立，求b的最小值. 题型五 利用隐零点解决讨论零点问题 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·湖北·