第10讲 利用导数研究函数的零点问题-2023年高考数学专题复习重难考点题型突破之导数、数列（全国通用）

学生版 导数专题 第10讲 利用导数研究函数的零点问题 思维导图-----知识梳理 1、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 思维导图-----典型题型讲练 题型一：证明唯一零点（根）问题 思维导图-----方法梳理 1. 分类讨论思想与转化化归思想 2. 数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线处（极值点处） 3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，设，求证：在上只有1个零点. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数，. (1)若，求的最大值； (2)若，求证：有且只有一个零点. 2．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知函数. (1)求函数的最小值； (2)证明：函数仅有一个零点. 题型二：根据零点（根）情况求参数 思维导图-----方法梳理 3. 分类讨论思想与转化化归思想 4. 数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线处（极值点处） 3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。 ①利用最值（极值）研究函数零点（根）问题 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数在时有极值0． (1)求函数的解析式； (2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围． 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数（a为常数）有3个不同的零点，求实数a的取值范围. 2．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数，． (1)若，求函数的极值； (2)若函数恰有三个零点，求实数的取值范围． 3．（2022·北京丰台·一模）已知函数． (1)当时，求曲线的斜率为1的切线方程； (2)若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围． ②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题 思维导图-----方法梳理 1. 分离参数,转化为平行于x轴的直线与新函数图像的交点问题,交点的个数即是零点的个数; 2. 转化为“一直一曲”的切线问题,即一条直线与函数的交点问题. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））已知函数 (1)填写函数的相关性质； 定义域 值域 零点 极值点 单调性 性 质 (2)通过（1）绘制出函数的图像，并讨论方程解的个数． 例2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））设函数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有三个不等实根，求实数的取值范围. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知函数（，e为自然对数的底数）. 若有两个不相等的实数根，求的取值范围； 2．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数在时取得极值， 且在点处的切线的斜率为 . (1)求的解析式； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围. 3．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数 (1)讨论的单调性； (2)设，若方程有三个不同的解，求a的取值范围. 4．（2022·四川绵阳·二模（文））已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． ③构造函数研究函数零点（根）问题 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数（e为自然对数的底数），（），. (1)若直线与函数，的图象都相切，求a的值； (2)若方程有两个不同的实数解，求a的取值范围. 例2．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数. (1)若与在处有相同的切线，求实数的取值； (2)若时，方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数，． (1)试讨论