第6讲 数列求和方法-2023年高考数学专题复习重难考点题型突破之导数、数列（全国通用）

学生版 数列专题 引子: 数列从不吝啬她的优雅，不是出其不意，就是猝不及防; 数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式，还是求和，方法都多得令人发指; 好在目前高考对此降低了难度，就算偶尔发生意外，也顶多是一个小题的差距，根本没法伤筋动骨; 她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力，只有拿满分才配得上。 第6讲 求和方法（精讲） 思维导图------知识梳理 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 思维导图-----典型题型讲练 方法一 公式法求和 思维导图-----方法梳理 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.（2021·宁夏银川市）已知数列是一个公差为的等差数列，前项和为，，，，成等比数列，且. （1）求数列的通项公式： （2）求数列的前10项和. 例2．已知等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2021·江苏徐州市·高三三模）设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝35，且a1，a4－1，a7成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an，求数列{bn}的前2n项的和T2n． 2．（2021·四川成都市·高三三模（文））已知数列中，，且满足．设，. （1）求数列的通项公式的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求. 3．（2021·黑龙江实验中学）已知数列的前项和为，满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和为． 方法二 裂项相消求和 思维导图-----方法梳理 使用特征：1.分式：分母可以写成两个因式相乘; 2.检验：检验是否可以裂项; 分母中两个因式：a=; 判断a是不是为常数，如果是则可以裂项，裂成 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 4、通项裂项为“”型 如：① ② 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. (1) 等差型 思维导图-----方法梳理 等差型 (注意系数) （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·四川省高县中学校高二阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 例2.（2022·安徽·高三开学考试）已知数列满足. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和. 例3．（2022·吉林·东北师大附中高三开学考试）已知二次函数，当时，把在此区间内的整数值的个数表示为． (1)求和，并求时的表达式； (2)令，数列的前项和为，求证：． 1．（2022·全国·高三专题练习）若数列满足套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 (1)求证：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 2．（2022·安徽·高三开学考试）已知数列满足，且数列的前项和为． (1)求数列的通项公式; (2)已知，记数列的前项和为，求证:． 3．（2022·福建·厦门海沧实验中学高二期中）已知数列的前n项和为，且是和1的等差中项，等差数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求的取值范围． (2) 无理型 思维导图-----方法梳理 无理型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前项和 例2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：当，时，. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，令. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前14项和. 2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模（文））设数列的前n项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和. (3) 指数型 思维导图-----方法梳理 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是