微专题拓展-球的切接问题（课件）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

微专题拓展 球的切接问题 P119-3.将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积. • O 解：由题意知2R=6，即R=3. ∴最大球零件的体积为 ①正方体内切球直径2R=正方体棱长a (2R=a) 1.正方体的内切球 (改：削木块) 2.正方体的棱切球 ②正方体的棱切球直径2R=正方体的面对角线长a 即2R=a 定义：①若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。 ②体对角线：连接棱柱上下底面的不在同一侧面的两顶点的连线。(体对角线过正/长方体的中心) 结论：外接球球心到多面体各顶点的距离为球的半径。 P120-5.棱长为a cm的正方体的顶点都在球面上，求球的体积. 3.正方体的外接球 ③正方体的外接球直径=正方体体对角线长. 正方体的中心与其外接球球心重合. [变式1]一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为____. [变式2]在球面上有四个点P,A,B,C，若PA,PB,PC两两垂直 且PA=PB=PC=2，则该球的体积为_____. 3.正方体的外接球 ③正方体的外接球直径=正方体体对角线长. 关键:将三棱锥补为正方体 [例1]设长方体的长、宽、高分别为3, 2, 1，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________. 4.长方体的外接球 O ④长方体的外接球直径=长方体的体对角线长. 长方体的中心与其外接球球心重合. A B C D D1 4.长方体的外接球 解：设长方体共顶点的三条棱长分别为a,b,c，则 O a b c [变式]长方体的共顶点的三个侧面的对角线长分别为，，，则它的外接球的表面积为_______. [拓展练习]已知底面边长为1，高为2的正六棱柱的顶点都在一个球面上,则该球的表面积为______. [例2]设直三棱柱的所有棱长都为2，且顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______. 5.正三棱柱的外接球 ⑤球心到正三棱柱两底面的距离相等。 • O • O2 C B A 2 • O1 2 正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心. D [例3]已知正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则球的表面积为____. 6.正四棱锥的外接球 ⑥正四棱锥的外接球O满足OP=OA=OB=OC=OD=R; 球心O在顶点和底面中心的连线(正四棱锥的高)上; [变式]已知正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的表面积为____. 球与正三棱锥的4个面各有一个切点； 球心O到4个面的距离均等于r，即OQ=OT=OR=OS=r； 7.正三棱锥的内切球 7.正三棱锥的外接球 OA=OB=OC=OP=r； P,O,Q共线且PQ⊥面ABC； Q为底面的中心； 正棱锥的外接球球心在其高上. [例4]已知正三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则此球的半径为____. 7.正三棱锥的外接球 正三棱锥的外接球 三棱锥的内切球 [例5]已知底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，则四棱锥P-ABCD内切球的表面积为____. • O D R • O′ P C B A a (法1)如图构造直角三角形. R O A D O′ P • • R a R 8.正四面体的外接球 [例6]若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积. (法2：补形法)把正四面体放在正方体中， 则正方体的外接球就是正四面体的我今天， 设正方体棱长为x， • O P C B A 8.正四面体的外接球 [例6]若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积. • O D R • O′ P C B A a R O A D O′ P • • R a R 若正四面体的棱长为a，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r， 则R=a，r=a，R:r=3:1. r 8.正四面体的外接球、内切球 若正四面体的棱长为a，高为h， 则h=a，R=h，r=h，R:r=3:1. [例7]例.球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______. O 9.圆锥的外接球 解：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，设球的半径为r， ②当圆锥顶点与底面在球心同侧时，设球的半径为r， END eq \f(9,32)或eq \f(3,32) $