第6讲 幂指对函数 讲义-2023届高考数学二轮复习

第6讲 幂指对函数 知识与方法 举一个简单的例子,关于数字之间的相互表示,从轮换角度而言应该有三个:,这分别是幂函数、指数函数、对数函数的雏形.三类函数看似三驾马车,实乃同款底盘、同根车轴. 一、幂函数全集 二、指数、对数函数之间的融合关系 1.的不同取值对函数的图象和性质的影响是重中之重,要熟知在和两个区间上取值时,函数的单调性及图象特点. 2.比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用,在具体比较时,基本方法有:寻找中间量、利用单调性、构造不同函数、同底数或同指数转换. 3.指数函数与同底数的对数函数互为反函数,它们的图象关于直线${y=x}$对称,这为解题中数形结合思想的运用带来了无限可能,特别是一些关于超越方程、指对同构、判断零点相关性的例. 三、零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线,且有,那么函数在区间上至少有一个零点,即存在,使得,这个也就是方程的解. 四、易错警示 1.求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时,首先要考虑定义域,再由复合函数的单调性来确定其单调区间,要注意单调区间是函数定义域的子集;其次要结合函数的图象,确定其最值或单调区间. 2.的定义域为与值域为是两道形似神异的例,不可混淆,两者不能同时成立. 典型例题 【例1】(多选题)已知函数,下列说法中正确的是 A.若的定义域为,则 B.若的值域为,则或 C.若,则的单调递减区间为 D.若在上单调递减,则 【例2】（多选）已知函数的图象经过，则下列命题中正确的是（ ） A.为增函数 B.为偶函数 C.若,则 D.若,则 【例3】（多选）已知，（为常数），那么函数的图象不可能是（ ） 【例4】函数的图象大致为（ ） 【例5】 (多选题)已知函数,则下列命题中的真命题为（ ） A. 在定义域内是减函数 B. 是非奇非偶函数 C. 的图象关于直线 对称 D. 是偶函数且有唯一一个零点 【例6】业界称,2020年，“中国芯”迎来发展和投资元年.某芯片企业准备研发一款产品﹐研发启动时投人资金为 ( 为常数) 元, 年后总投人资金记为 , 经计算发现当 时, , 其中 为常数, . (1)研发启动多少年后, 总投人资金是研发启动时投人资金的 8 倍? (2)研发启动后第几年投人的资金最多? 【例7】设函数的零点为,函数的零点为, 则 的值为 . 【例8】已知函数 的值域为 , 则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【例9】 (多选题) 已知函数 若函数 有四个 零点, 则 的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【例10】已知函数，函数. (1) 若 , 求函数 在区间 上的最小值; (2) 若对 , 都存在 , 使得 , 求 的取值范围. 【例11】(多选题)若，则（ ） A. B. C. D. 【例12】(多选题)已知正数满足,则下列结论中正确的为（ ） A. B. C. D. 【例13】设,则（ ） A. B. C. D. 【例 14】 已知函数 , 函数 , 记 , 其中 表示实数 中较小的数. 若对 都有 成立, 则实数 的 取值范围是 . 【例 15 】设函数 的定义域为 , 若存在 , 使得 , 则称 为函数 的 “可拆点”. 若函数 在 上存在 “可拆点”, 则正实 数 的取值范围为 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 幂指对函数 知识与方法 举一个简单的例子,关于数字之间的相互表示,从轮换角度而言应该有三个:,这分别是幂函数、指数函数、对数函数的雏形.三类函数看似三驾马车,实乃同款底盘、同根车轴. 一、幂函数全集 二、指数、对数函数之间的融合关系 1.的不同取值对函数的图象和性质的影响是重中之重,要熟知在和两个区间上取值时,函数的单调性及图象特点. 2.比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用,在具体比较时,基本方法有:寻找中间量、利用单调性、构造不同函数、同底数或同指数