专题6.2 相似三角形中的动点问题（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题6.2 相似三角形中的动点问题 【典例1】如图1，在中，，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ． （1）若与相似，求t的值； （2）直接写出是等腰三角形时t的值； （3）如图2，连接AQ、CP，若，求t的值． 【思路点拨】 （1）根据勾股定理可得，分两种情况：①，②，根据相似三角形的性质将代入计算即可得； （2）分三种情况：①当时，过P作，则，，根据平行线分线段成比例定理得到，进而即可求解；②当时，列出式子即可求解；③当时，过Q作于G，则，通过，得到比例式进而即可求解； （3）设AQ，CP交于点N，过P作于点M，先根据相似三角形的判定与性质可得，，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得． 【解题过程】 解：（1）∵， ∴， 由题意得：， 分以下两种情况讨论： ①当时，， 即， 解得； ②当时，， 即， 解得， 综上，t的值为1或； （2）解：分三种情况： ①当时，如图，过P作， 则，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：； ②当时，即， 解得：； ③当时，如图，过Q作于G， 则，， ∵， ∴， ∴即， 解得：； 综上所述：是等腰三角形时t的值为：或或； （3）解：如图，设AQ，CP交于点N，过P作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即， 解得， 经检验是该分式方程的解． 1．（2022·辽宁沈阳·九年级阶段练习）如图，在中，，，点从点出发以1个单位长度/秒的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度向点运动，其中一点到达另一点即停．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不对 2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则满足条件的点P的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，，∠ABC=90°，AD=2㎝，BC=6㎝，AB=7㎝，点P是从点B出发在射线BA上的一个动点，运动的速度是1㎝/s，连接PC、PD．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形边长为8，为中点，线段在边上从左向右以1个单位/秒的速度运动，，从点与点重合时开始计时，到点与点重合时停止，设运动时间为秒，连结，在运动过程中，下列4个结论：①当时，；②只有当时，以点构成的三角形与相似；③四边形的周长最小等于；④四边形的面积最大等于38．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，有一正方形，边长为，是边上的中点，对角线上有一动点，当与相似时，的值为__________． 6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为______秒时，以P、F、E为顶点的三角形与△AED相似． 7．（2022·广东佛山·九年级期末）如图，△ABC中AB=AC，A (0，8)，C (6，0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为____________． 8．（2022·湖北武汉·一模）如图，正方形的边长为，是的中点，点在射线上，过点作，垂足为．当点在射线上运动时，若以、、为顶点的三角形与相似，则的值为______． 9．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如图，边长为5cm的正方形ABCD，E，F分别从A，B两点同时出发，以1cm/s速度沿射线AB，射线BC运动，连结AF，DE交于点P，G为AD中点，连结PG，PB，若与相似，则运动时间t的值为______． 10．（2022·辽宁·鞍山市第二十六中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs． (1)当时，求x的值． (2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 11．（2022·福建省大田县教师进修学校九年级期中）如图，在三边互不相等的中，，．动点从开始沿边运动，