专题27.1 平行线分线段成比例的综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题27.1 平行线分线段成比例的综合 【典例1】如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且，，、交于点M，、交于点N． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【思路点拨】 （1）根据平行线分线段成比例定理，由得到，由得到，所以，即＝，于是可判断； （2）先利用得到＝，则可设，再由得到，，所以，接着由得到，于是可设，则，然后证明四边形为平行四边形得到，最后利用得到，求出a从而得到的长． 【解题过程】 解：（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是的中线，点是上任一点，连接并延长，交于点． （1）如图1，当时，求的值； （2）如图2，当时，求的值． 2．（2022·安徽·合肥市五十中学东校九年级阶段练习）阅读下列材料，完成相应的学习任务： 已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程． (1)证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程 3．（2022·全国·九年级专题练习）△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E； （1）如图1，若D为BC的中点，，求证：AF＝FD； （2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得； （3）若F为AD的中点，设，请求出m、n之间的等量关系． 4．（2022·江苏扬州·一模）如图，已知点P、Q分别是矩形ABCD中AB、CD边上的动点（不与点A、B、C、D重合），PE∥BQ交AQ于点E，连接PQ．AB＝8，BC＝6，设△PEQ的面积为S． (1)当点P运动到AP＝2时，无论点Q运动到CD边的何处，S＝_____； (2)在点P、Q的运动过程中， ①若S＝，求AP的长； ②求S的最大值． 5．（2022·江苏·盐城市大丰区实验初级中学益民路分校九年级阶段练习）已知：二次函数 （a 0）的图像与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且 OA<OB），与 y 轴交于点C． (1)求 C 点坐标，并判断 b 的正负性； (2)设这个二次函数的图像的对称轴与直线 AC 相交于点 D，已知 DC：CA 1：2 ， 直线 BD 与 y 轴交于点 E，连接 BC．若△BCE 的面积为 16，求该二次函数的表达式． 6．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，． (1)求该抛物线的函数解折式； (2)连接BC，点D是线段BC上方抛物线上的一点，连接OD，CD，OD交BC于点E，是否存在点D使，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，点E为线段AB的三等分点（靠近点A），点F为线段CD的三等分点（靠近点C），且CE⊥AB．将△BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DC＝DG． （1）证明：四边形AECF为矩形； （2）求四边形AECG的面积． 8．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，D是BC边上一点，连接AD，CD=1，AD=BD，点E，F分别在AD、BD上，EF∥AB，连接CE． (1)求AB的长； (2)如图1，若5DE-5AE=3，过点F作FG∥DA，交AB于点G，求S四边形AEFG：S△DEF的值； (3)如图2，若EF=时，过点F作FH⊥CE，垂足为H，求HF的长． 9．（2022·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，以AB为边画三角形．按下列要求作图： (1)在图①中，画一个等腰△ABC，使其面积为3． (2)在图②中，画一个直角三角形△ABD，使其面积为． (3)在图③中，画一个△ABE，使其面积为，且∠BAE＝45°． 10．（2022·北京·九年级期中）如图，在正方形中，是边上一动点不与点，重合，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，过点作于． (1)①依题意补全图形；②求的度数． (2)连接，请用等式表示线段与线段之间的数量关系，并证明． 11．（2022·广东实验中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中中，直线与