第2讲 函数方程不等式 讲义-2023届高考数学二轮复习

第2讲 函数方程不等式 典型例题 【例1】设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数一在上有两个不同的零点，则称和在上是关联函数，称为关联区间．若与在上是关联函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例2】已知函数 若存在实数 满足 , 其中 , 则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【例3】已知函数 , 若任意的正数 均满足 , 则 的最小值为 . 【例4】已知函数 当 时, 的最小值等于 ;若对于定义域内任意的 恒成立, 则实数 的取值范围是 . 【例5】对于函数 , 若在定义域内存在实数 , 满足 , 则称 为“局部奇函数”. 若 为定义域 上的“局部奇函数”, 则实 数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【例6】已知 , 记函数 的零点个数为 , 函数 的零点个数为 , 则 的值不可能是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【例7】若函数 有极值点 , 且 , 则关于 的 方程 的不同实数根的个数是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【例8】已知函数 若关于 的方程 恰 有 4 个不相等的实数根, 则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【例9】设 是定义在 上的两个周期函数, 的周期为 的周期 为 2 , 且 是 奇函 数. 当 时, 其中 . 若在区间 上, 关于 的方程 有 8 个不同 的实数根, 则 的取值范围是 . 【例10】若关于 的不等式 有且只有两个整数解,则实数 的 取值范围是( ) A. B. C. D. 【例11】解方程: . 【例12】已知 为正整数,方程 的两个实数根为 , 且 , 则 的最小值为 。 【例13】定义函数 , 记 的最大值为 , 当 变化时,求 的最小值 。 【例14】(多选题) 已知函数 有两个零点 , 则以下结论中正 确的是( ) A. B. 若 , 则 C. D. 函数 有四个零点 【例15】已知 , 求 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 函数方程不等式 典型例题 【例1】设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数一在上有两个不同的零点，则称和在上是关联函数，称为关联区间．若与在上是关联函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为与在上是关联函数,故函数在上有两个不同的零点. 故有即 得, 故选B. 【例2】已知函数 若存在实数 满足 , 其中 , 则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】画出的图象,如图. 因为,所以由二次函数的性质可得, 由图可知,, 从而, 又, 所以, 即的取值范围是. 故选B. 【例3】已知函数 , 若任意的正数 均满足 , 则 的最小值为 . 【答案】12 【解析】因为恒成立,所以函数的定义域为. 因为, , 所以为奇函数. 又在上单调递减, 所以在上单调递减, 又在处连续, 所以在上单调递减. 由得, 故,即, 所以 , 当且仅当,即时等号成立, 所以的最小值为12. 故答案为12. 【例4】已知函数 当 时, 的最小值等于 ;若对于定义域内任意的 恒成立, 则实数 的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时, 当时,,从而当时,有最小值; 当时,,从而当时,有最小值. 所以,当时,的最小值等于. 对定义域内任意的恒成立,讨论如下. (1)当时,有, 即, 令, 有最小值, 所以. (2)当时,有, 即, 令, 有最大值, 所以. 综上,实数的取值范围是. 故答案为. 【例5】对于函数 , 若在定义域内存在实数 , 满足