6.1～6.2 平方根与立方根-2022-2023学年七年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（人教版）

2022-2023学年人教版数学七年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 6.1-6.2 平方根与立方根 课程目标 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 3. 了解立方根的含义； 4. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 重点：会用根号表示数的平方根，并会用开方运算求某些非负数的平方根 难点：开方运算求某些非负数的平方根 知识梳理 要点一：平方根、算术平方根及立方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.立方根的定义 （1）如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. （2）立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点二：平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三：平方根及立方根的性质 平方根的性质： 立方根的性质： 要点诠释：立方根第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四：平方根及立方根小数点位数移动规律 平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 平方根及立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 精讲精练 考点一：平方根 【典例分析01】（2022•贵阳模拟）若3﹣a和2a+3都是某正数的平方根，则某数为　81或9　． 【思路点拨】根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知3﹣a+2a+3＝0，a＝﹣6，或3﹣a＝2a+3，解得a＝0，继而得出答案 【规范解答】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴3﹣a+2a+3＝0． 解得：a＝﹣6 ∴3﹣（﹣6）＝3+6＝9． ∵92＝81， ∴这个数为81． 或3﹣a＝2a+3，解得a＝0， ∴这个数是9， 故答案为：81或9． 【知识要点】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 【典例分析02】（2021春•崇阳县校级月考）（﹣8）2的平方根是 　±8　． 【思路点拨】首先利用二次根式的性质化简，进而求出平方根． 【规范解答】解：∵（﹣8）2＝64， ∴64的平方根为：±＝±8． 故答案为：±8． 【知识要点】此题主要考查了算术平方根以及平方根，正确掌握相关定义是解题关键． 【随堂演练01】（2022春•岳池县期中）已知6（x﹣2）2＝24，求x的值． 【随堂演练02】（2022春•光泽县月考）如果一个非负数的平方根是2a﹣1和a﹣5，求这个非负数的值． 考点二：算术平方根 【典例分析03】（2022春•岳麓区校级期中）已知≈5.03587，≈15.92482，则≈　503.587　（结果保留3位小数）． 【思路点拨】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可． 【规范解答】解：， ＝， ＝×， ＝5.03587×100， ＝503.587． 故答案为：503.587． 【知识要点】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键． 【典例分析04】（2022春•汝南县月考）观察下列各式： ＝＝＝2，即＝2 ＝＝＝3，即＝3，那么＝　n　． 【思路点拨】观察不难发现，被减数与分数的分子相同，分母等于被减数的平方加1，根据此规律写出即可． 【规范解答】