专题01 平面向量的概念及其运算-2022-2023学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题01 平面向量的概念及其运算 知识点一 平面向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点二 平面向量的线性运算 1．向量的加法 （1）三角形法则（图甲）：强调向量“首尾相接” （2）平行四边形法则（图乙）：强调“共起点” （3）向量加法的运算律 ①交换律 ②结合律 【点拨】①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则． ②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0． 2. 向量减法 【点拨】①向量减法的三角形法则中，表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”． ②如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b. 3. 向量的数乘 （1） 定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ>0 λa的方向与a的方向相同 λ＝0 λa＝0（零向量！） λ<0 λa的方向与a的方向相反 （2）几何意义：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍． （3）运算律 设λ、μ为实数，则 (1)λ(μa)＝ (λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb (分配律)． 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． 【点拨】对于非零向量a，当λ＝时，λa表示a方向上的单位向量． 4. 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 知识点三 共线向量定理 1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 【点拨】①定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa． ②定理的另种形式：若存在不全为0的一对实数t，s，使ta＋sb＝0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta＋sb＝0，则必有t＝s＝0． 2.平面向量共线定理的三个应用 知识点四 平面向量的数量积 1．平面向量的数量积 定义 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 投影 |a|cosθ (|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积 2．两个向量数量积的性质 设a、b都是非零向量， (1)a⊥b⇔a·b＝0． (2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝a2＝|a|2或|a|＝． (3)|a·b|≤|a||b|． 3．平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ． (1)交换律：a·b＝b·a． (2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 考点01 平面向量的有关概念 【典例1】（2022春·山东聊城·高一期中）下列命题中正确的个数是（    ） ①起点相同的单位向量，终点必相同； ②已知向量，则四点必在一直线上； ③若，则； ④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】【多选题】（2022·高一单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或 C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量 【易错提醒】 有关平面向量概念的注意点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (5)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件． 考点02 平面向量的线性运算 【典例3】（2023秋·北京房山·高一统