上海外国语大学附属外国语学校2021-2022学年高三上学期10月月考数学试卷

上海外国语大学附属外国语学校2021-2022学年高三上10月月考数学试卷 一、填空题(本大题共有12小题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.若集合,则 . 2.若抛物线的准线方程为,则的值为 . 3.函数的反函数是 . 4.已知,则 . 5.已知平面,直线,,,满足,,且,互为异面直线,则“且”是“”的 . 6.已知等差数列的首项及公差均为正数,令,,当是数列的最大项时, . 7.已知向量与的夹角为,且,若,且,则实数的值为 . 8.当集合中的元素个数最少时,实数的取值范围是 . 9.已知定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意,都有,若,则实数的取值范围是 10.是所有同时满足下列条件的函数的集合:①的定义域为;②对任意,或.若对一切,关于的方程恒有解,则实数的取值集合是 . 11.已知数列的首项,函数为奇函数,记为数列的前项和,则的值为 . 12.定义在上的函数满足:①当时,;②对任意都有.设关于的函数的零点从小到大依次为,若,则 . 二、选择题(本大题共有4小题,满分20分,每题5分) 13.长方体中,,,在左侧面上.已知到、的距离均为5,则过点且与垂直的长方体截面的形状为 A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形 14.若定义域为的奇函数有反函数,那么必在函数图象上的点是 A. B. C. D. 15.若存在,使得成立,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 16.已知数列满足,若,则“数列为无穷数列”是“数列单调”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.非充分非必要条件 三、解答题(本大题共5题,满分76分) 17.如图,已知长方体中,,,. (1)求异面直线与所成角的大小; (2)求点到平面的距离. 18.已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于、两点,其中点坐标. (1)求的值; (2)若,求点坐标. 19.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺,某地政府决定为防护服生产企业公司提供(万元)的专项补贴,并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服公司在收到政府(万元)补贴后,防护服产量将墙加到(万件),其中为工厂工人的复工率,公司生产万件防护服需投入成本(万元). (1)将公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(利润总收入一成本,政府补贴万元计入公司收入中); (2)在复工率为时,政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大? (3)对任意的(万元),当复工案达到多少时,公司才能不产生亏损?(精确 20.在平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为双曲线的右顶点,直线与的一条渐近线平行. (1)求的方程; (2)如图,、为的左右焦点,动点在的右支上,且的平分线与轴、轴分别交于点、,试比较与的大小,并说明理由; (3)在(2)的条件下,设过点、的直线与交于、两点,求△的面积最大值. 21.对于一组向量,令,如果存在,使得,那么称是该向量组的“向量”. (1)设,若是向量组的“向量”,求实数的取值范围; (2)若,向量组是否存在“向量”?给出你的结论并说明理由; (3)已知、、均是向量组的“向量”,其中, .设在平面直角坐标系中有一点列,,,,满足:为坐标原点,为的位置向量的终点,且与关于点对称,与 关于点对称,求的最小值. 学科网(北京)股份有限公司 $ 上海外国语大学附属外国语学校2021-2022学年高三上10月月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.若集合，则　　． 【解析】， 所以. 2.若抛物线的准线方程为，则的值为　　． 【解析】抛物线的标准方程为，其准线方程为， 若抛物线的准线方程为，则，解得． 3.函数的反函数是　　． 【解析】由得且，所以. 4.已知，则　　． 【解析】按第二列展开，得，所以. 5.已知平面，直线，，，满足，，且，互为异面直线，则“且”是“”的　　． 【解析】因为，互为异面直线，且，， 则平面内必存在两条相交直线分别与，平行， 又因为且，所以；若，则且， 所以“且”是“”的充要条件． 6.已知等差数列的首项及公差均为正数，令，，当是数列的最大项时，　　． 【解析】设，，因为，， 因为， 得， 当且仅当时，取到最大值，此时，所以． 7.已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为　　． 【解析】因为向量与的夹角为，且， 所以， 因为，且，所以， 即，则， 即，则，， 解得． 8.当集合中的元素个数最少时，实数的取值范围是　　． 【解析】， 当时不等式变为，不等式解集，区间内有无限多个 整数．不符合集合元素个数有最值问题；① ②当时，不等式变为，因为，，显然所以原不等式解集．区间内有无限多个整数．不符合集合元素个数有最值问题； ③当时，不等式变为