2023年中考数学高频考点专题复习：二次函数与一元二次方程

2023年中考数学高频考点-二次函数与一元二次方程 1．二次函数的图象的对称轴是直线x＝2，且与x轴的交点为点A，B（3，0），根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是 　； (2)不等式的解集是 　　； (3)若一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 　　． 2．学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数y＝x2－2|x|＋1的图象和性质进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示．请根据函数图象完成以下问题： (1)观察发现： ①写出该函数的一条性质 ； ②函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2－2|x|＋1＝0有 个实数根； (2)分析思考： ③方程x2－2|x|＋1＝1的解为 ； ④关于x的方程x2－2|x|＋1＝m有4个实数根时，m的取值范围是 ； (3)延伸探究： ⑤将函数y＝x2－2|x|＋1的图象经过怎样的平移可以得到函数y1＝(x－1)2－2|x－1|＋3的图象，写出平移过程． 3．学习完二次函数后，同学们对函数的图像和性质进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后得到其图像如图所示．请根据函数图像完成以下问题： (1)观察发现： ①该函数的图像关于_______对称； ②当_______时，该函数有最_______值为_______； ③当在什么范围内，随的增大而增大？ ； (2)分析思考： ①方程的解为_____________________； ②关于x的方程有4个实数根时，m的取值范围是_______． 4．已知二次函数． (1)求证：无论k取任何实数，该函数的图象与x轴总有交点； (2)如果该函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数图象的对称轴和顶点坐标． 5．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）． (1)求a的值． (2)求二次函数图象与x轴的交点坐标． 6．如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，点D在射线上运动． (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F（点E在点F的左侧），若，求点E的坐标； (3)记抛物线的顶点关于直线的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段的长． 7．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求点A，点C的坐标； (2)如图2，连结AC，DC，过点C作交抛物线于点E．求证：∠DCE＝∠CAO； (3)如图3，在（2）的条件下，连结BC，在射线EC上有点P，使以点D，E，P为顶点的三角形与△ABC相似，求EP的长． 8．如图，某校准备用54米的围栏修建一边靠墙的矩形花园，已知墙体的最大可用长度为28米，设的长为x米，矩形花园的面积为y平方米． (1)请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围； (2)如果该矩形花园的面积为360平方米，求的长． 9．小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值． x … 0 1 2 … y … 3 4 3 0 … （1）求该二次函数的表达式； （2）该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，若，直接写出n的取值范围． 10．已知二次函数的图象与x轴有两个交点． (1)求k的取值范围． (2)当时，求抛物线与x轴的交点A和B的坐标． 11．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如，y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝时，y＝＝ a2，所以y＝x2是“对称函数”． (1)函数对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，的图象． (2)函数的图象如图2所示，当它与直线y＝－x+n恰有3个交点时，求n的值． (3)如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0），B（2，0），C（2，－3），D（－3，－3），当二次函数（b>0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围． 12．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，顶点D的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)求B、C两点的坐标． (3)过线段上一点M，作轴，交抛物线于点N，是否存在点M，使得线段有最大值？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，请说明理由 13．二次函数的图像与x轴交于，两点，且函数有最大值是2． (1)求二次函数的解析式； (2)设此二次函数与y轴的