第7讲 数列求和 讲义-2023届高考数学二轮复习不等式与数列精讲精练

第7讲 数列求和 知识与方法 数列求和是数列基本运算之一,其关键是研究数列对应通项公式的特征. 常用的方法有公式法、分组求和法、并项求和法、错位相消法、倒序相加法、裂项相消法. 一、常用方法 1 公式法:若数列是等差或等比数列,直接用求和公式求和. 2 分组求和法:若一个数列的通项公式是一个和式,且各式能求和,则可分组求和. 3 并项求和法:若数列中相邻两项或几项的和是同一常数或有规律可循,则可并项求和. 4 错位相消法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和等比数列的对应项之积构成的,则可用错位相消法求和. 5 倒序相加法:如果一个数列的前项中,距首末两项“等距离”的两项之和都相等,则可用倒序相加法求和. 6 裂项相消法:若数列的通项可拆成结构相同的两式之差,则可用裂项相消法求和. 二、易错警示 1 根据数列的通项的不同特点选择求和方法,千万不可张冠李戴. 2 使用裂项相消法时必须注意消去了哪些项,保留了哪些项. 典型例题 【例1】数列中,已知对任意正整数,有,则________. 【例2】求. 【例3】已知数列的通项公式为则_________. 【例4】已知数列和满足 记数列的前项和为,求. 【例5】已知函数且,则________. 【例6】（1）已知正项数列中, 当时,数列的前项和为3. (2)已知数列的前项和为,若,求数列的前项和. 强化训练 1. 已知数列是等比数列,,则________. 2. 已知数列的通项公式为若是关于的方程的两个实根,且,求数列的前项和. 3. 已知数列满足若,则________. 4. 设是关于的一元二次方程的两个根,且.设,求数列的前项和. 5. 设,则________. 6.已知等差数列的前项和为,且.设,求证. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 数列求和 知识与方法 数列求和是数列基本运算之一,其关键是研究数列对应通项公式的特征. 常用的方法有公式法、分组求和法、并项求和法、错位相消法、倒序相加法、裂项相消法. 一、常用方法 1 公式法:若数列是等差或等比数列,直接用求和公式求和. 2 分组求和法:若一个数列的通项公式是一个和式,且各式能求和,则可分组求和. 3 并项求和法:若数列中相邻两项或几项的和是同一常数或有规律可循,则可并项求和. 4 错位相消法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和等比数列的对应项之积构成的,则可用错位相消法求和. 5 倒序相加法:如果一个数列的前项中,距首末两项“等距离”的两项之和都相等,则可用倒序相加法求和. 6 裂项相消法:若数列的通项可拆成结构相同的两式之差,则可用裂项相消法求和. 二、易错警示 1 根据数列的通项的不同特点选择求和方法,千万不可张冠李戴. 2 使用裂项相消法时必须注意消去了哪些项,保留了哪些项. 典型例题 【例1】数列中,已知对任意正整数,有,则________. 【分析】分析数列求和的通项公式,若是等差数列或等比数列,直接用公式求和. 【解析】解法1：记,则当时,, 当时,, 所以,所以, 故. 解法2：因为符合等比数列前项和,所以可以判定数列是公比为3的等比数列,且,所以数列是以4为首项,9为公比的等比数列. 故. 【点睛】公式法是数列求和最常用的方法之一,若是等差数列或等比数列,直接利用前项和公式.除此之外,补充一个常见数列的前项和公式: 【例2】求. 【分析】先求出通项公式,再根据通项公式特征选择相应的求和方法. 【解析】令,则,所以. 【点睛】若一个数列的通项公式是一个和式,且各部分的前项和可求,则可以分别求和后再相加,即分组求和. 【例3】已知数列的通项公式为则_________. 【分析】由通项公式可知,发现相邻两项是平方差，所以可以两项整体考虑后求和. 【解析】(1)当为偶数时, (2)当为奇数时, 故. 【点睛】若数列中相邻两项或几项的和是同一常数或有规律可循,可采用并项求和. 【例4】已知数列和满足 记数列的前项和为,求. 【分析】先求出数列的通项公式,然后研究数列的通项公式,再根据特征选择适当的求和方法. 【解析】因为, 所以.又因为, 所以, 所以,即. 又,所以, 所以, 所以, 所以, 故. 【点睛】若数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列相乘构成,那么这个数列的前项和可用错位相消法求得. 【例5】已知函数且,则________. 【分析】发现距首末两项“等距离”的自变量的和为定值1,进一步发现对应两项的函数值的和为定值. 【解析】因为,则, 所以. 令，则， 所以.故. 【点睛】如果一个数列的前项中,距首末两项“等距离”的两项之和都相等,则可用倒序相加求和. 【例6】（1）已知正项数列中, 当时,数列的前项和为3. (2)已知数列的前项和为,若,求数列的前项和. 【分析】数列的通