16.1.1二次根式的概念课件2022-2023学年人教版八年级数学下册

16.1.1二次根式的概念 人教版八年级下册数学 1 知识回顾 (1)什么叫一个数的平方根?如何表示? (2)什么是一个数的算术平方根?如何表示? 一般地,若一个数的平方等于a,则这个数就叫做a的平方根. a的平方根是 ±(a≥0) . 若一个正数的平方等于a,则这个数就叫做a的算术平方根. 用 (a≥0)表示. 2 1.如果x2=9,那么x= . 2.如果x2=5,那么x= . 3.如果x2=a(a≥0),那么x= . 4.13的平方根是 ,13的算术平方根是 . 知识回顾 教学目标 1.了解并掌握二次根式的概念. 2.利用二次根式的概念解决具体问题. 4 新知导入 圆形花坛的面积为 70πm², 那么它的半径是多少? 这个式子有什么特点呢? 圆的面积公式是 S=πr²,所以半径 r =. 5 新知探究 思考 用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点: (1)面积为 3 的正方形的边长为 ,面积为 S 的正方形的边长为 . (2)一个长方形的围栏,长是宽的 2 倍,面积为 130m2,则它的宽为 m. 被开方数大于0 6 新知探究 (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间 t(单位:s),与开始落下时离地面的高度 h(单位:m)满足关系 h=5t2,如果用含有 h 的式子表示 t,那么 t 为 . 被开方数可以是分式 思考 用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点: 7 新知探究 上述问题的结果为 、 、 、 ,可以看出它们表示一些正数的算术平方根. 那么类似于这样的式子,你能试着归纳特点吗? 4个式子分别表示3、S、65、 的算术平方根. 共同特点是被开方数为非负数,根指数为2. 知识点 1 二次根式的定义 8 新知小结 一般地,我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 两个必备特征 ①外貌特征:含有“ ” ②内在特征:被开方数a ≥0 注意:a可以是数,也可以是式. 9 新知探究 (1)被开方数 a 既可以是一个数,也可以是一个含有字母的式子,但前提是 a 必须大于或等于 0. (2) (a≥0)实际上就是非负数 a 的算术平方根,它既可以表示开方运算,也可以表示运算的结果. (3)如果已知 是二次根式,就意味着满足 a≥0 这一隐含条件. 注 意 10 新知典例 下列各式中,哪些是二次根式?哪些不是? 解: (1)(4)(6)均是二次根式,其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析: 例1 11 新知练习 1.下列式子中,哪些是二次根式? 、 (m≤0) 、 (m、n异号) 、 、 异号数的积是负数 不能满足m-5≥0 不是二次根式 以上式子中,是二次根式的有: 、 、 12 新知探究 知识点 2 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件: 被开方数(式子)为非负数, (a≥0) 由二次根式的定义可知 13 新知典例 例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解:由x-2≥0,得 x≥2. 当x≥2时, 在实数范围内有意义. 【变式题1】当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? 解:由题意得x-1>0, ∴x>1. 14 新知典例 解:∵被开方数需大于或等于零, ∴3+x≥0,∴x≥-3. ∵分母不能等于零, ∴x-1≠0,∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义,即需满足被开方数≥0,列不等式求解即可.若式子为分式,应同时考虑分母不为零. 归纳 15 新知练习 2.对当a是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? 教师点拨: 二次根式中求字母的取值范围的依据是:被开方数大于等于零. 任意实数 任意实数 任意实数 任意实数 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 16 新知典例 例3 化简的结果是_. 分析:∵根号内的数互为相反数 ∴1-x≥0, x-1≥0 , ∴x=1. ∴=0 17 新知练习 解: 教师点拨: 当被开方数在两个根号内互为相反数时被开方数只能为零. 由题意知:|2-x|=|x-2|=0 即:x=2. 所以y=5. 18 新知练习 4. 解: 教师点拨: 二次根式本身具有非负性. 19 课堂总结 二次根式 概念 含有二次根号 被开方数为非负数 有意义的条件 被开方数(式子)为非负数, (a≥0) 20 课堂练习 C 21 课堂练习 22 课堂练习 23 课堂练习 24 课堂练习 25 课堂练习 26 THANKS 27 1.在式子eq \r(4),-eq \r(3),eq \r(-5),eq \r(x2+1),eq \r(a+1),eq \r(\f(y,2))(y>0),eq \r(-2x)(x<0)