7.4.1 二项分布-2022-2023学年高二数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019选择性必修第三册）

7.4.1二项分布 目标素养 课程目标 核心素养 1.理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念,掌握随机变量服从二项分布的有关计算; 2.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差. 1.数学抽象：n重伯努利试验的概念 2.逻辑推理： 二项分布的随机变量的均值和方差 3.数学运算：二项分布的有关计算 4.数学建模：模型化思想 概念梳理 1．伯努利试验及特征 (1)概念：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验； (2)n重伯努利试验。 一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征： ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立。 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数。则X的分布列为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n。 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)。 3．二项分布的均值与方差 若随机变量X服从二项分布B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)。 【概念辨析】 1.伯努利试验只包含两个结果，不能多于或少于两个结果。 2.不符合n重伯努利试验的两个特征，不能称为n重伯努利试验。 3.在相同条件下，有放回地抽样试验是n重伯努利试验。 4.对比二项分布与二项式定理可以发现：因为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，所以P(x＝0)＋P(x＝1)＋…＋P(x＝n)＝Cp0(1－p)n＋Cp1(1－p)n－1＋…＋Cpn＝[(1－p)＋p]n＝1，P(x＝k)即[(1－p)＋p]n展开式的通项公式。 正误辨析 判断下列说法是是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) 1. 依次投掷四枚质地不同的骰子．点数1出现2次的试验是4重伯努利试验．(　×　) 【解析】因为骰子的质地不同，点数1出现的概率不同，因此不是4重伯努利试验． 2. n重伯努利试验的结果可以有多种．(　×　) 【解析】n重伯努利试验的结果只有两种． 3. 若X服从二项分布，则E(X)＝p.(　 ×　) 【解析】若X服从二项分布，则E(X)＝np. 初试身手 1. 在比赛中运动员甲获胜的概率是，假设每次比赛互不影响，那么在五次比赛中运动员甲恰有三次获胜的概率是(　　) A． B． C． D． 【解析】由n次独立重复试验的概率计算公式，得C3×2＝。故选B。 2. 现有5个人独立地破译某个密码，已知每人单独译出密码的概率均为p，且<p<1，则恰有三个人译出密码的概率是(　　) A．Cp3 B．Cp2(1－p)3 C．Cp3(1－p)2 D．1－C(1－p)2 【解析】由题意可知，恰有三个人译出密码的概率P＝Cp3(1－p)2。故选C。 3. 为响应国家“足球进校园”的号召，某校成立了足球队。假设在一次训练中，队员甲有10次的射门机会，且他每次射门踢进球的概率均为0.6，每次射门的结果相互独立，则他最有可能踢进球的个数是(　　) A．5　　　　B．6 C．7　　　　D．8 【解析】由题意得，他踢进球的个数X～B(10,0.6)，E(X)＝10×0.6＝6，则他最有可能踢进球的个数是6。故选B。 4. 设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p是________。 【解析】P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，即p2(1－p)2＝22，解得p＝或p＝。 5. 甲、乙两人进行投篮比赛，两人各投3球，谁投进的球多谁获胜，已知每次投篮甲投进的概率为，乙投进的概率为，求： (1)甲投进2球且乙投进1球的概率； (2)在甲第一次投篮未进条件下，甲最终获胜的概率。 【解析】(1)甲投进2球的概率是C2×＝，乙投进1球的概率是C1×2＝。所以甲投进2球且乙投进1球的概率为×＝。 (2)甲第一次投篮未进最终获胜的情况有：①甲后2球都投进，乙投进1球或都不进： P1＝××＝×＝。 ②甲后2球进1球，乙都不进。 P2＝C×××3＝×＝，所以甲第一次投篮未进，最终获胜的概率为P1＋P2＝。题型讲解 探究（一）求n重伯努利试验的概率 【典例1】判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 【解析】(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验． (2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验． (3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可