7.3.2 离散型随机变量的方差-2022-2023学年高二数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3.2离散型随机变量的方差 目标素养 课程目标 核心素养 1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义. 2.会求离散型随机变量的方差、标准差. 3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 1.数学抽象：离散型随机变量的方差的概念 2.逻辑推理：离散型随机变量的方差的性质 3.数学运算：求离散型随机变量的方差 4.数学建模：模型化思想 概念梳理 1．离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如表所示。 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2。因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度。我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)。 2．离散型随机变量方差的性质 (1)方差的简化形式：D(X)＝pi－(E(X))2。 (2)设a，b为常数，D(X＋b)＝D(X)，D(aX)＝a2D(X)，D(aX＋b)＝a2D(X)。 【概念辨析】 1.离散型随机变量的方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。 2.离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方，标准差与随机变量本身的单位相同。 3.要熟记方差的变形公式： D(X)＝pi－(E(X))2＝E(X2)－(E(X))2，变形公式可以简化计算。 4.方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。 5.离散型随机变量的方差即总体的方差，它是一个常数，不随抽样样本的不同而变化，是客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本的不同而变化的。对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差。 正误辨析 判断下列说法是是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) 1. 离散型随机变量的方差越大， 随机变量越稳定．(　×　) 【解析】错误，离散型随机变量的方差越小，随机变量越稳定． 2. 离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的．(　×　) 【解析】错误，单位不同，方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位． 3. 若a是常数，则D(a)＝0.(　 √　) 【解析】正确，离散型随机变量的方差刻画离散型相对于均值的波动大小． 初试身手 1. 设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 【解析】D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4。故选C。 2. 若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1<x2，已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　) A． B． C．3 D． 【解析】因为E(X)＝，D(X)＝，所以解得或(不合题意，舍)，所以x1＋x2＝3。故选C。 3. 已知离散型随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________。 X －1 0 1 2 P a b c 【解析】由题意知 解得 4. 有甲、乙两种品牌的手表，它们的日误差分别为X，Y(单位：s)，其分布列如下： X －1 0 1 P 0.1 0.8 0.1 Y －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则两种品牌中质量好的是________。 【解析】E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝0.2，D(Y)＝1.2，因为D(X)<D(Y)，所以甲质量好。 5. 袋中有5个大小相同的小球，其中有1个白球、4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止。求取球次数X的均值和方差。 【解析】取球次数X是一个随机变量，X的所有可能取值是1,2,3,4,5。 P(X＝1)＝＝0.2， P(X＝2)＝×＝0.2， P(X＝3)＝××＝0.2， P(X＝4)＝×××＝0.2， P(X＝5)＝××××＝0.2。 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 所以E(X)＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3， D(X)＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－