7.1.1 条件概率-2022-2023学年高二数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1.1条件概率 目标素养 课程目标 核心素养 1.通过实例,了解条件概率的概念； 2.掌握求条件概率的两种方法； 3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题； 4.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法. 1.数学抽象：条件概率的概念 2.逻辑推理：条件概率公式的推导 3.数学运算：运用条件概率公式计算概率 4.数学建模：将相关问题转化为条件概率 概念梳理 1．条件概率 (1)条件概率的概念。 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率。 (2)条件概率与独立性的关系。 当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)。 (3)概率的乘法公式。 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)。这个公式称为概率的乘法公式。 2．条件概率的性质 设Ω是样本空间，P(A)>0，则有： (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B和C是两个互斥事件，P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)。 【概念辨析】 1. P(B|A)是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(AB)是事件A与B同时发生的概率，无附加条件；P(A)是事件A发生的概率，无附加条件。它们的联系是P(B|A)＝。 2. P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。另外，从计算公式上看，P(B|A)＝，而P(A|B)＝。 3. 乘法公式的几何直观意义 如图，用单位正方形来表示样本空间Ω，用正方形内封闭曲线围成的图形表示事件，把图形的面积理解为相应事件发生的概率。设A，B是Ω的子集。概率P(B)＝(注意P(Ω)＝1)相当于B在Ω中所占的比例，亦可表示为P(B)＝P(B|Ω)。条件概率P(B|A)＝，实际上是仅局限于A事件这个范围来考查B事件发生的概率，几何直观上，相当于B在A内的那部分(即AB)在A中所占的比例。 因此P(AB)＝P(A)P(B|A)，同理，P(AB)＝P(B)P(A|B)。 4. 已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的样本空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝＝＝。正误辨析 判断下列说法是是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) 1. P(A∩B)＝ P(AB).(　 √　) 【解析】正确，事件A和B同时发生所构成的事件称为事件A与B的交(或积)，记作A∩B(或AB)，所以P(A∩B)＝P(AB). 2. 若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　 ×　) 【解析】错误，若事件A，B互斥，则事件A∩B是不可能事件，P(A∩B)＝0，所以P(B|A)＝0. 3. 对于任意事件A，B，P(AB)＝P(A)P(B).(　 × 　) 【解析】错误，对于相互独立事件A，B，有P(AB)＝P(A)P(B). 初试身手 1. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点。设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于(　　) A. B. C. D. 【解析】由题意可知，n(B)＝C×22＝12，n(AB)＝A＝6。所以P(A|B)＝＝＝。故选A。 2. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　) A．0.45 B．0.6 C．0.75 D．0.8 【解析】根据条件概率公式P(B|A)＝，得所求概率为＝0.8。故选D。 3. 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着。现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为________。 【解析】解法一：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝＝，则所求概率为P(B|A)＝＝＝。 解法二：第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为＝。 4. 设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是________。 【解析】设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故AB＝B，于是P(B|A)＝＝＝＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概