专项33 二次函数与胡不归综合应用-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项33 二次函数与胡不归综合应用 【背景】从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B（如图1所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他气喘吁吁地赶到父亲眼前时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻舍劝慰小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归胡不归这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢倘有可能，他应该选择条怎样的路线呢这就是风靡千年的“胡不归问题”. 由于在驿道和沙砾地的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时 设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然＜. 不妨假设从C处进入砂砾地.设总共用时为t,则 t=+=(BC+AC).因为，是确定的，所以只要(BC+AC)最小，用时就最少.问题就转化为求(BC+AC)的最小值. 我们可以作出一条以C为端点的线段，使其等于AC.并且与线段CB位于AM的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点.怎么作呢由三角函数的定义，过A点，在AM的另一侧以A为顶点，以AM为一边作∠MAN=∠α，sinα=.然后，作CE⊥AN，则CE=AC.最后，当点B、C、E在一条直线上时，BC+CE最小，即(BC+AC)的值最小，即用时最小 胡不归问题 识别条件：动点P的运动轨迹是直线（或线段） 方法： 1、将所求线段和改为的形式（） 2、作，使 3、过点B作交AC于点P 4、的最小值转化为垂线段的长 注意：当k＞1时， 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为　 　； 【典例2】如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8． （1）求m的值； （2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值． （3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标． 【变式1】如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．若点Q为线段OC上的动点，求AQ+CQ的最小值． 所有 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为（0，6），点Q是y轴上任意一点，则PQ+QB的最小值为 　 　． 【变式3】二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）． （1）a＝　　，c＝　 　； （2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值； 1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则2OP+AP的最小值为 　　． 2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x轴分别交于点B（3，0）和点A，且tan∠CAO＝1． （1）求抛物线解析式． （2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由； （3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC+PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．版权所有 3．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标； （3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由． 版权所有 4．如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线y＝x+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）． （1）求A，B两点的坐标； （2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标； 5．已知：如图所示，抛物