3.2 圆锥（同步重难点讲义）-2022-2023学年六年级数学下册学霸课堂笔记（人教版）

人教版数学六年级下册 第三单元 圆柱与圆锥 第2课时-圆锥 1. 圆柱的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的圆锥也可以由扇形卷曲而得到。 2. 圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高。 3. 圆锥的特征： （1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。 （2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。 （3）高的特征 ：圆锥有一条高。 4. 圆柱的切割：①横切：切面是圆； ②竖切（过顶点和直径直径）：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，面积增加两个等腰三角形的面积，即S增=2rh。 4. 圆锥的相关计算公式：底面积：S底=πr² 底面周长：C底=πd=2πr 体积：V锥=πr²h 5. 圆柱和圆锥的关系 （1）圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。 （2）圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的3倍。 （3）圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积（注意：是底面积而不是底面半径）是圆柱的3倍。 （4）圆柱与圆锥等底等高，体积相差Sh 【例1】一个底面半径4分米，高6分米的圆柱形铁块，熔铸成一个底面半径6分米的圆锥，圆锥的高是多少分米？ 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，那么h＝V÷÷πr2，把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×42×6÷÷（3.14×62） ＝3.14×16×6×3÷（3.14×36） ＝301.44×3÷113.04 ＝904.32÷113.04 ＝8（分米） 答：圆锥的高是8分米。 【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【例2】小丽想准确量出圆锥的高，请你结合自己的经验说说自己的测量方法。（可以写出来，也可以画出来） 【分析】根据测量圆锥高的方法进行解答即可。 【解答】解：测量圆锥高的方法： ①先把圆锥的底面放平； ②用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面； ③竖直地量出平板和底面之间的距离，就是圆锥的高。 【点评】此题考查了测量圆锥高的方法，应注意平时基础知识的积累。 【例3】以三角形（如图）的其中一条直角边为轴，旋转一周，形成一个立体图形，这个立体图形的最大体积是多少立方厘米？ 【分析】如果以三角形3厘米为轴旋转一周得到的圆锥的底面半径是2厘米，高是3厘米；如果以三角形的2厘米为轴旋转一周得到的圆锥的底面半径是3厘米，高是2厘米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：×3.14×22×3 ＝3.14×4 ＝12.56（立方厘米） ×3.14×32×2 ＝3.14×6 ＝18.84（立方厘米） 18.84＞12.56 答：这个立体图形的最大体积是18.84立方厘米。 【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【例4】一个圆锥形玩具，它的底面周长是18.84cm，高是3cm。这个玩具的体积是多少立方厘米？ 【分析】先用底面周长除以2π求出圆锥的底面半径，再利用圆锥的体积计算公式：V＝πr2h，把数据代入公式即可求得体积。 【解答】解：18.84÷3.14÷2＝3（cm） ×3.14×32×3 ＝×3.14×9×3 ＝28.26（立方厘米） 答：这个玩具的体积是28.26立方厘米。 【点评】此题主要考查圆锥的体积计算公式V＝πr2h，运用公式计算时不要漏乘。 【例5】如图，沿一个长方形和一个三角形的一边旋转，分别得到一个圆柱与一个圆锥。你能根据长方形的长和宽、三角形的底和高求出圆柱与圆锥的底面半径和高各是多少吗？请在图中标示出来。 【分析】以长6厘米、宽5厘米的长方形的长为轴旋转，得到的圆柱体的底面半径为5厘米，高为6厘米，据此解答即可； 根据直角三角形的两条直角边分别是5厘米、6厘米可知，绕着6厘米的直角边旋转一周得到的圆锥体的底面半径是5厘米，高是6厘米，据此解答即可。 【解答】解：以长6厘米、宽5厘米的长方形的长为轴旋转，会得到的圆柱体的底面半径为5厘米，高为6厘米； 根据直角三角形的两条直角边分别是5厘米、6厘米可知，绕着6厘米的直角边旋转一周得到的圆锥体的底面半径是5厘米，高是6厘米。 如图： 【点评】抓住圆柱、圆锥的展开图特点，得出旋转后的图形的半径及高。 【例6】把一个高是9厘米的圆锥形铅锤，完全浸入一个底面内直径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里，玻璃器皿里水的高度比原来上升了2厘米（水未溢出）。这个圆锥形铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【分析】根据题意可知，把圆锥形铅锤放入圆柱形容器中，上升部分水的就等于这个铅锤的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝Sh，那么S＝V÷÷h，把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×（6÷2）2×2÷÷9 ＝3.14×9×2×