3.1 圆柱（同步重难点讲义）-2022-2023学年六年级数学下册学霸课堂笔记（人教版）

人教版数学六年级下册 第三单元 圆柱与圆锥 第1课时-圆柱 1. 圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。 圆柱也可以由长方形卷曲而得到。（两种方式：①以长方形的长为底面周长，宽为高；②以长方形的宽为底面周长，长为高。其中，第一种方式得到的圆柱体体积较大。） 2. 圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，他们的数值是相等的。 3. 圆柱的特征： （1）底面的特征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。 （2）侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。 （3）高的特征 ：圆柱有无数条高。 4. 圆柱的切割：①横切：切面是圆，表面积增加 2 倍底面积，即 S增 =2πr²； ②竖切（过直径）：切面是长方形（如果 h=2R，切面为正方形），该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4rh。 4. 圆柱的侧面展开图：①沿着高展开，展开图形是长方形，如果 h=2πr，展开图形为正方形； ②不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形； ③无论怎么展开都得不到梯形。 5. 圆柱的相关计算公式：底面积 ：S底=πr² 底面周长：C底=πd=2πr 侧面积：S侧=2πrh 表面积：S表=2S底+S侧=2πr²+2πrh 体积：V柱=πr²h 【例1】一个刷油漆的滚筒形状是圆柱形，长2.7dm，底面直径为9cm，滚筒滚动一周能刷漆的面积是多少平方厘米？ 【分析】根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，把数据代入公式解答。 【解答】解：2.7分米＝27厘米 3.14×9×27 ＝28.26×27 ＝763.02（平方厘米） 答：这个滚筒刷滚动一周能粉刷的面积是763.02平方厘米。 【点评】此题主要考查圆柱侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【例2】把一块长12.56cm、宽5cm、高4cm的长方体树脂溶解后，以直径为40cm神舟十四号载人飞行任务logo图片为圆柱形底面，锻造成圆柱形装饰品，求这个装饰品的厚度是多少？ 【分析】由题意可知：把长方体的树脂铸造成圆柱体，只是形状变了，但体积不变，根据长方体的体积公式求出树脂的体积，然后用长方体树脂体积除以圆柱形装饰品的底面积，即可求出求这个装饰品的厚度。 【解答】解：12.56×5×4÷[3.14×（40÷2）2] ＝251.2÷[3.14×400] ＝251.2÷1256 ＝0.5（厘米） 答：这个装饰品的厚度是0.5厘米。 【点评】此题主要考查长方体的体积公式、圆柱的体积公式的灵活运用。 【例3】有以下四种型号的纸皮，小豪想自己制作一个漂亮的笔筒。你认为它应该选择 　 　和 　 　，才能制作成功呢？请说明理由。 【分析】圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高，据此利用πr2求出底面周长与长方形的长作比较即可。 【解答】解：3.14×3×2 ＝3.14×6 ＝18.84 3.14×4×2 ＝3.14×8 ＝25.12 由此可知因为半径为4的底面周长是25.12与长方形的长相等，符合圆柱的侧面展开图的样子。 故答案为：a，d。 【点评】此题主要考查了圆柱与圆柱的侧面展开图之间的关系，再根据相应的公式与基本的数量关系解决问题。 【例4】如图中圆柱的底面周长是25.12cm，高是15dm，现用包装绳包扎，至少需要多长的包装绳？（接头处需15cm） 【分析】根据题意和图形可知，所需彩带的长度等于4条高，4条直径，再加打结处用的15厘米，由此列式解答。 【解答】解：15分米＝150厘米 底面直径： 25.12÷3.14＝8（厘米） 8×4+150×4+15 ＝32+600+15 ＝647（厘米） 答：至少需要647厘米的包装绳。 【点评】此题属于圆柱体知识的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些数据的长度和。 【例5】一个圆柱形鱼缸，底面半径6厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径是3厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中（水未溢出），水面上升0.5厘米，这个铅锤的高是多少厘米？ 【分析】根据题干，这个圆锥形铅锤的体积就是上升0.5厘米的水的体积，由此根据圆柱的体积公式V＝Sh可以求出这个圆锥形铅锤的体积，再利用圆锥的体积公式V＝Sh即可求出这个圆锥形铅锤的高。 【解答】解：62×3.14×0.5×3÷（32×3.14） ＝169.56÷28.26 ＝6（厘米） 答：这个铅锤的高是6厘米。 【点评】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据上升的水的体积求得圆锥形铅锤的体积是本题的关键。 【例6】如图（单位：cm），甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28cm将乙容器中的水全部倒入甲容器中，这时水面离甲容器的上沿