广东省惠州市2023届高三第三次调研考试数学试题

惠州市2023届高三第三次调研考试试题 数学 全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，，且，则实数（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 0 2. 等差数列中，，是方程两个根，则的前2022项和为（ ） A. 1011 B. 2022 C. 4044 D. 8088 3. “”是“方程表示双曲线”的（ ）条件 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知实数，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C D. 5. 已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中，，，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. b与c是异面直线 B. a与c没有公共点 C. D. 6. 若函数（且）在R上为减函数，则函数的图像可以是（ ） A. B. C. D. 7. 在“2，3，5，7，11，13”这6个素数中，任取2个不同的数，这两数之和仍为素数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且恒成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ） A. z的虚部为1 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 在某市高二举行的一次期中考试中，某学科共有2000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为.按照的分组作出频率分布直方图，如图所示.其中，成绩落在区间内的人数为16.则下列结论正确的有（ ） A. 样本容量 B. 图中 C. 估计该市全体学生成绩的平均分为分 D. 该市要对成绩由高到低前的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号 11. 已知函数，，则下列结论正确是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 存在，使得函数为奇函数 C. 任意， D. 函数有且仅有2个零点 12. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（ ） A. 直线与蒙日圆相切 B. 的蒙日圆的方程为 C. 记点到直线的距离为，则的最小值为 D. 若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分. 13. 已知平面向量，，若与垂直，则实数__________． 14. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则__________． 15. 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为__________． 16. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 数列中，，． （1）求证：数列是等比数列； （2）若，求数列的前项和． 18. 条件①， 条件②， 条件③． 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答． 已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________， （1）求； （2）若是的角平分线，且，求的最小值． 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点． （1）证明：平面平面PBC； （2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离． 20. 某地经过多年的