第二十四章 专题3 勾股定理与方程的结合-【中考123·全程导练】2022-2023学年八年级下册数学（人教版五四制 鸡西专用）

第二十四章三 专题3勾股定理与方程的结合 随堂笔记 题型描述：利用勾股定理表示未知线段长（或其平方），建立方程，求线段长，这种方程思想在勾股定 理中的应用非常广泛，在基础题、压轴题中是必备的求解线段长的工具 1.如图，在△ABC中，AB=13,BC=14,AC=15,求△ABC的面积.导学号50482051 C 1题图 2.如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于点E,AD=8,AB=4, 求△BED的面积.导学号50482052 1 2题图 方法小结： 1.勾股定理与方程结合的种类： (1)三角形一边长及两边的和差倍分关系； (2)三角形三边的和差倍分关系； (3)含公共边的两个直角三角形. 2.在分类(1)(2)中，设其中一条未知边，利用勾股定理建立方程求解. 3.在分类(3)中，两次利用勾股定理分别表示公共边（或其平方），建立方程求解。 数学·则·四制八年级下册 13　 !" ·ＲＪ· #$%&'() I$ ２　 /012JMNO$ １． á ： 6 Ｒｔ△ＣＢＤ/， ∵ＢＤ２＋ＣＤ２＝ＢＣ２， ∴２５２＋ＣＤ２＝６５２， ∴ＣＤ＝６０（ｍ）． ∵ＣＥ＝ＣＤ＋ＤＥ， ∴ＣＥ＝６０＋１．６＝６１．６（ｍ）． ２． á ： UâV ， Ïc Ｂ P ＢＣ⊥ＡＤEcＣ， ∴ＡＣ＝４－２＋０．５＝２．５（ｍ），ＢＣ＝４．５＋１．５＝６（ｍ）， 6 Ｒｔ△ＡＢＣ/，ＡＢ=ž:， ? ＡＢ＝ ＢＣ２＋ＡＣ槡 ２＝ ６２＋２．５槡 ２＝６．５（ｍ）． ë»Db‚c Ａ …c Ｂ jk2lmI ６．５ｍ． ２ &q' ３． á ：（１） 6 Ｒｔ△ＡＢＤ/，ＡＤ＝ＡＢｓｉｎ４５° 槡＝４ ２×槡 ２ ２＝４． 6 Ｒｔ△ＡＣＤ/， ∵∠ＡＣＤ＝３０°， ∴ＡＣ＝２ＡＤ＝８． ë¼°­½ ＡＣ 2;Q¸= ８ｍ． （２） WX ： W¾ ＭＮＱＰ ¿´ ． 6 Ｒｔ△ＡＢＤ/，ＢＤ＝ＡＢ 槡ｃｏｓ４５°＝４ ２×槡 ２ ２＝４． 6 Ｒｔ△ＡＣＤ/，ＣＤ＝ＡＣ 槡ｃｏｓ３０°＝４ ３． ∴ＣＢ＝ＣＤ－ＢＤ 槡＝４ ３－４≈２．８． ∵ＰＣ＝ＰＢ－ＣＢ≈５－２．８＝２．２（ｍ），２．２ｍ＞２ｍ， ∴ W¾ ＭＮＱＰ ¿´ ． ４． á ： UâV ， Ïc Ｃ P ＣＤ⊥ＡＢ，LÛ=c Ｄ．ø!ƒÅ( ∠ＣＡＢ＝３０°，∠ＣＢＡ＝４５°． 6 Ｒｔ△ＣＤＢ/，∠ＢＣＤ＝４５°， ∴∠ＣＢＡ＝∠ＢＣＤ，ＢＤ＝ＣＤ． 6 Ｒｔ△ＡＣＤ/，∠ＣＡＢ＝３０°， ∴ＡＣ＝２ＣＤ． t ＣＤ＝ＤＢ＝ｘ， ? ＡＣ＝２ｘ． ø™š"÷ ， ( ＡＤ２＝ＡＣ２－ＣＤ２，ＡＤ 槡＝３ｘ． ∵ ＡＤ＋ＤＢ＝ＡＢ， 槡∴ ３ｘ＋ｘ 槡＝１＋３，á( ｘ＝１． ∵ＣＤ＝１＞０．７， ∴ òõÀÁ2’gË·î«ÂÏËà ． ４ &q' ５． á ： t;Y±u ＣＦ，ＦＧ，ＧＨ Ċ ， ¿Å‚w ， xR ＦＣＨＧ >R ＡＤＣＨ 6f#ARB ， ›œ ＡＢ， UâV①， ø!ƒ ， ( ＢＤ＝ＢＣ＋ＣＤ＝５＋１０＝１５（ｃｍ）， ＡＤ＝ＣＨ＝１５ｃｍ， 6 Ｒｔ△ＡＢＤ/，Ë䙚"÷，( ＡＢ＝ ＢＤ２＋ＡＤ槡 ２ 槡＝１５ ２（ｃｍ）． t;Y±u ＤＥ，ＥＦ，ＦＣ Ċ ， ¿i‚w ， xR ＤＥＦＣ >R ＡＤＣＨ 6f#ARB ， ›œ ＡＢ， UâV②， ø!ƒ ， ( ＢＨ＝ＢＣ＋ＣＨ＝５＋１５＝２０（ｃｍ），ＡＨ＝１０ｃｍ． 6 Ｒｔ△ＡＢＨ/，Ë䙚"÷，( ＡＢ＝ ＢＨ２＋ＡＨ槡 ２ 槡＝１０ ５（ｃｍ）， ›œ ＡＢ， UâV③， ø!ƒ ， ( ＢＢ′＝Ｂ′Ｅ＋ＢＥ＝１５＋１０＝２５（ｃｍ）， ＡＢ′＝ＢＣ＝５ｃｍ， 6 Ｒｔ△ＡＢ′Ｂ/，Ë䙚"÷，( ＡＢ＝ ＢＢ′２＋ＡＢ′槡 ２ 槡＝５ ２６（ｃｍ）， 槡 槡 槡∵１５ ２＜１０ ５＜５ ２６， ∴ ?¤¥³‰2µ¶lmI 槡１５ ２ｃｍ． 　　　　５ &q'①　 　　　５&q'②　　５&q'③　　　　 I$ ３　 /012JPQERS １． á ： UâV ， Ïc Ａ P ＡＤ⊥ＢＣ，LÛ=cＤ， t ＢＤ＝ｘ， ? ＤＣ＝ＢＣ－ＢＤ＝１４－ｘ， 6 Ｒｔ△ＡＢＤ/，ＡＤ２＝ＡＢ２－ＢＤ２， 6 Ｒｔ△ＡＣＤ/，ＡＤ２＝ＡＣ２－ＣＤ２， ∴ＡＢ２－ＢＤ２＝ＡＣ２－ＣＤ２， ∴１３２－ｘ２＝１５２－（１４－ｘ）２， á( ｘ＝５， 6 Ｒｔ△ＡＢＤ/，ＡＤ２＝ＡＢ２－ＢＤ２＝１４４， ∴ＡＤ＝１２，∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２×ＡＤ×ＢＣ＝８４． １ &q' ２． á ：∵△ＢＤＣ′Iø△ＢＤＣuJhＢＤw(…2， ∴∠Ｃ′ＢＤ＝∠ＣＢＤ． ∵ ::H ＡＢＣＤ IpH ， ∴ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＢ， ∴∠Ｃ′ＢＤ