笔记&必记第六章 平面向量及其应用-【志鸿优化训练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

第六章平面向量及其应用 第六章平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 名称 定义 备注 既有大小又有方向的量叫做向量；向 向量 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 量的大小叫做向量的长度（或称模） 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为士日 方向相同或相反的非零向量，又叫做 平行向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 【名师点拨】 共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量 向量平行（共线）与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况. 例6一1一1：下列说法中，正确的是 (填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反： ③向量AB与向量CD共线，则A,B,C,D四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小。 解析：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是 向量； ②不正确，若与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故这两个向量的 方向不一定相同或相反； ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小，而向量的模均为实数，可以比较 大小 答案：④ 例6一1一2：已知在四边形ABCD中，若AB=DC,且AB1=|AD,且AC=BD,则 四边形ABCD的形状为 解析：，AB=DC,AB∥DC,且AB=DC,四边形ABCD是平行四边形，：|A方= |AD,且AC=BD,∴.四边形ABCD是正方形. 答案：正方形 数学· ☑笔记&必记 6.2平面向量的运算 1平面向量的四种运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 atb 交换律：a十b=b十a;结 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 合律：(a十b)+c=a+ (b+c) a 平行四边形法则 求a与b的相反向量一b的和的 减法 1-b a-b=a+(-b) 运算 a 三角形法则 a|=|λa,当λ>0 时，a的方向与a的方 λ(a)=(u)a; 数乘 求实数入与向量a的积的运算 向相同：当入0时，λa的 (入十a)a=Aa+pa; 方向与a的方向相反；当 A(a+b)=λa+λb λ=0时，a=0 a·b=b·a(交换律)； 已知两个非零向量a与b,它们 数量积a·b等于a的 (λa)·b=λ(a·b)= 的夹角为0，则数量|a|Ib cos0 长度|a与b在a的方 数量积 a·(b)(结合律)； 叫做a与b的数量积（或内积）， 向上的投影bcos0的 (a+b)·c=a·c+b· 记作a·b,即a·b=a|bcos0 乘积 c(分配律) 【名师点拨】 在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一 个向量的终点；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量. 2向量共线（平行）定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数入，使b=a. 【温馨提示】 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别 与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线； (2)OA=入OB+μOC(入，4为实数)，若A,B,C三点共线，则入十=1. 3平面向量数量积的性质 设a,b都是非零向量，e是单位向量，0为a与b(或e)的夹角，则 (1)a·e=e·a=acos0. (2)a⊥b台a·b=0. (3)当a与b同向时，a·b=a|b;当a与b反向时，a·b=-ab.特别地，a· a=a2或a=√a·a. 2 ·数学 第六章平面向量及其应用白 (4)cos0-a a·b (5)|a·b≤|a|b. 例6一2一1：如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC,ED 为BC边上一点，BC=3EC,F为AE的中点，则BF=() A.号a店-号A市 B}A店-号Aò C.-号A+号Ad D.-A$+号A动 解析：B=B+A市=B+2A它=-A店+2(AD+2AB+C)=-A+号(A市 +2A店+}C)=-A+2AD+A+6(CD+DA+A)=-号A+}AD 答案：C 例6-2-2：已知A,B,D三点共线，且对任意一点C,有CD-C+入C弦，则X=（ A号 B号 c-3 D.-3 解析：因为A,B,D三点共线，所以存在实数t,使AD=tAB, 则C市-CA=t(C-CA). 所以CD=CA+t(CB-CA)=(1一t)CA+tCB】 4 所以 1=一专’解得X= 3 t=λ， 答案：C 【误区警示】 本题容易出现未能利用共线导出系数关系，从而无法求值的问题，应充分利用共线 条件进行转化. 例6一2一3：已