6.2.3 6.2.4 第2课时 组合数的综合应用（Word教师用书）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版2019）

第2课时　组合数的综合应用 类型一　有限制条件的组合问题 【例题1】 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．按下列要求各有多少种不同的选法？ (1)选出2名教师去参加会议； (2)选出男、女教师各2名去参加会议； (3)选出2名教师去参加会议，至少有1名男教师． 解析　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，则共有C＝45(种)不同的选法． (2)可把问题分两步：第一步，从6名男教师中选2名，有C种选法；第二步，从4名女教师中选2名，有C种选法．根据分步乘法计数原理，共有CC＝15×6＝90(种)不同的选法． (3)方法一　至少有1名男教师可分两类：1男1女，有CC种选法；2男0女，有C种选法．根据分类加法计数原理，共有CC＋C＝39(种)不同的选法． 方法二　选出2名教师去参加会议，至少有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师去参加会议的选法种数减去2名都是女教师的选法种数，即C－C＝39(种)． 规律总结　 有限制条件的组合问题的解题原则和方法 (1)三大原则：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则． (2)常用方法 ①直接法：坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先安排特殊元素，再安排其他元素． ②间接法：原则是“正难则反”，也就是当正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此． 【变式1】 (1)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(　　) A．140种 B．80种 C．100种 D．70种 (2)本例条件不变，按下列要求各有多少种不同的选法？ ①选出2名男教师或2名女教师去参加会议； ②选出2名教师去参加会议，恰有1名男教师； ③选出2名教师去参加会议，至多有1名男教师． 解析　(1)符合题意的组队方案可分为两类：一男两女，有CC＝5×6＝30(种)；两男一女，有CC＝10×4＝40(种)．所以不同的组队方案共有30＋40＝70(种)．故选D项． 答案　D (2)①可把问题分两类： 第一类，选出的2名是男教师，有C种选法； 第二类，选出的2名是女教师，有C种选法． 根据分类加法计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21(种)不同的选法． ②2名教师中恰有1名男教师，即选出1男1女，有CC＝6×4＝24(种)不同的选法． ③方法一　至多有1名男教师包括两类：1男1女，有CC种选法；0男2女，有C种选法．根据分类加法计数原理，共有CC＋C＝30(种)不同的选法． 方法二　选出2名教师去参加会议，至多有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师去参加会议的选法种数减去2名都是男教师的选法种数，即C－C＝30(种)． 类型二　几何中的组合问题 【例题2】 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ 解析　方法一　以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准． 第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48(个)不同的三角形； 第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112(个)不同的三角形； 第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56(个)不同的三角形． 根据分类加法计数原理，共有48＋112＋56＝216(个)不同的三角形． 方法二　从12个点中任意取3个点，有C种取法，而在共线的4个点中任意取3个点均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C种．故这12个点构成三角形的个数为C－C＝216. 规律总结　 求解几何中组合问题的注意事项 (1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法解决，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理． (2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止重复计算，常用直接法，也可用排除法． 【变式2】 四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？ 解析　如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3个点必与点A共面，共有3C种取法；含顶点A的三条棱上，除点A外都有2个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，与顶点A共面的3个点的不同的取法有3C＋3＝33(种)． 类型三　分组、分配问题 【例题3】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本． 解析　(1)先从6本书中选2本给甲，有C种