6.2.3 6.2.4 第1课时 组合与组合数（Word教师用书）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版2019）

6．2.3　组　合 6．2.4　组合数 课标解读 学法指导 1．通过实例，理解组合的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式. 1．学会区分“排列问题”和“组合问题”．取出若干元素后，“需要按照一定的顺序排成一列”的是排列问题，“不需要考虑顺序合成一组”的是组合问题． 2．对组合数的两个性质重在会解释，并运用于计算之中. 第1课时　组合与组合数 问题导入 从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘． 问题1：所得商和积的个数相同吗？ 提示　不相同． 问题2：它们是排列吗？ 提示　从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列． 问题3：任取两个数相乘如何理解？ 提示　理解为任取两个数组合在一起． 微梳理 要点一　组合 1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为__一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．相同组合：只要两个组合的__元素相同__，不论元素的顺序如何，都是相同的组合． 思考：(1)组合对元素有何要求？ (2)组合是有放回抽取还是无放回抽取？ 提示　(1)组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的． (2)无放回抽取，即从n个不同的元素中进行m次不放回地抽取． 要点二　组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 表示法 __C__ 组合数公式 乘积式 C＝＝　　 阶乘式 C＝　　 性质 C＝C，C＝C＋C 备注 ①n，m∈N*且m≤n，②规定：C＝1 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票是组合问题．(　　) (2)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法是排列问题．(　　) (3)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法是组合问题．(　　) (4)由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数．(　　) (5)区别组合与排列的关键是看元素是否与顺序有关．(　　) 解析　(1)错误．因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题． (2)正确．因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，所以是排列问题． (3)正确．因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题． (4)错误．C是从n个元素中取m个元素的情况的种数，故C一定是正整数． (5)正确．组合与排列的不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列有顺序． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 类型一　组合的有关概念 【例题1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？ (3)10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次)，共需进行多少场次的比赛？ (4)10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？ 解析　(1)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数． (2)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变． (3)是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别． (4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的情况，是有顺序区别的． 规律总结 判断是否为组合问题的方法 【变式1】 (多选)下列说法是组合问题的是(　　) A．由1,2,3,4构成的含3个元素的集合 B．从7名班委中选2人担任班长和团支书 C．从数学组的10名教师中选3人去参加市里的新课程研讨会 D．由1,2,3,4组成无重复数字的两位数 答案　AC 解析　A项中选出的元素构成集合，是组合问题；B项中2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列问题；C项中选出的3人去参加研讨会，是组合问题；D项中2个数字组成两位数，有十位和个位的区分，是排列问题．故选AC项． 类型二　组合数的计算公式及其性质 【例题2】 (1)计算：C－CA. (2)已知＋＝，求m. 解析　(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)由已知得×＋×＝×，整理得m2－13m＋22＝0，解得m＝2或m＝11，由题意得0≤m≤4，m∈N*，所以m＝2. 规律总结 (1)组合数公式形式的选择规律 ①公式C＝＝，一般用于求值、计算； ②公式C＝(n，m∈N*，且m≤n)，一般用于化简、证明． (2)根据题目特点合理选用组合数的两个性质：C＝C，C＝C＋C能起到简化运算的作用，需熟练