6.2.1 6.2.2 第2课时 排列数的综合应用（Word教师用书）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版2019）

第2课时　排列数的综合应用 类型一　无限制条件的排列问题 【例题1】 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有7种不同的书(每种不少于3本)，要选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解析　(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法． (2)从7种不同的书中选3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法． 规律总结 无限制条件的排列问题的常见类型及解题思路 无限制条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．n个不同的元素占据m个不同的位置，若n≥m，且每个位置只排一个元素，则有A种不同的排法；若n<m，且每个元素只占一个位置，则有A种不同的占法．简而言之，就是注意把握“固定元素”与“固定位置”的相对性和灵活性． 【变式1】 (1)(多选)将5名司机、5名售票员分配到5辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则所有分配方案的种数为(　　) A．14 400 B．240 C．AA D．2A (2)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语各一节课，剩下两节为自习课，则不同排课法的种数是(　　) A．15 B．A C．35 D．53 解析　(1)安排5名司机有A种方案，安排5名售票员有A种方案，根据分步乘法计数原理，共有AA＝14 400(种)方案．故选AC项． (2)把上午五节课看成“5个位置”，分别用1,2,3,4,5来表示，把语文、数学、英语看成“3个元素”，一种排课法可看作是从1,2,3,4,5这5个位置中取出3个位置分给语文、数学、英语，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是A.故选B项． 答案　(1)AC　(2)B 类型二　有限制条件的排列问题 【例题2】 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数． (1)可组成多少个不同的四位数？ (2)可组成多少个不同的四位偶数？ 解析　(1)根据题意分步完成任务： 第一步，排千位数字，从1,2,3,4,5这5个数字中选1个来排，有A＝5(种)不同排法； 第二步，排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个排列，有A＝5×4×3＝60(种)不同排法． 所以可组成5×60＝300(个)不同的四位数． (2)根据题意分类完成任务： 第一类，个位数字为0，则从1,2,3,4,5这5个数字中选3个排在千位、百位、十位，有A＝5×4×3＝60(种)不同排法； 第二类，个位数字为2或4，则0不能排在千位，有AAA＝2×4×4×3＝96(种)不同排法． 所以可组成60＋96＝156(个)不同的四位偶数． 规律总结 有限制条件的排列问题的三种解题思路 以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．以上三种思路可以简化为图形，即： [注意] 解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理． 【变式2】 (1)由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数的个数是(　　) A．144 B．192 C．216 D．240 (2)有7名学生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数． ①全体排成一行，其中甲、乙必须在两边； ②全体排成一行，甲不站中间，也不站两边． 解析　(1)由0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字且能被5整除的五位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0. 当个位数字是0时，共有A＝120(种)情况； 当个位数字是5时，共有AA＝96(种)情况． 因此由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数的个数是120＋96＝216.故选C项． 答案　C (2)①元素分析法：甲、乙为特殊元素，故先安排甲、乙在两边，有A种排法，再安排其余5人，有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有AA＝240(种)排法． ②位置分析法：分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种排法，然后再排其他位置，有A种排法，所以共有AA＝2 880(种)排法． 微专题 用方法·破解疑难 方法一　“捆绑法”解决相邻问题 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列． 【例题1】 有3名女生、4名男生站成一排，女生必须相邻，男生也必须相邻，则不同的排法种数是(　　) A．72 B．96 C．144