第六章 计数原理 综合训练(二)(范围：6.3)（Word教师用书）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版2019）

一、选择题 1．n的展开式存在常数项，则正整数n的最小值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．14 答案　C 解析　展开式的通项为Tr＋1＝C(3x3)n－r·r＝C3n－r·rx3n－7r，令3n－7r＝0，则n＝，当r＝3时，n有最小值7.故选C项． 2．在(2x－5)10的二项展开式中，二项式系数最大的项的项数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．5或7 答案　B 解析　在(a＋b)n的二项展开式中，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数值相等，且同时取得最大值，(2x－5)10的展开式有11项，所以二项式系数最大的项的项数是6.故选B项． 3．6展开式中的常数项为(　　) A．60 B．64 C．－160 D．240 答案　A 解析　6展开式的通项为Tr＋1＝Cx·(－2)r·x－r＝(－2)r·C·x.令6－3r＝0，解得r＝2，所以展开式的常数项为(－2)2·C＝60.故选A项． 4．在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为(　　) A．－32 B．0 C．32 D．1 答案　C 解析　因为二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.令x＝1，可得展开式中各项系数的和为5＝25＝32.故选C项． 5．(x3－2y)6的展开式中，x6y3的系数为(　　) A．－10 B．5 C．35 D．50 答案　A 解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x2)6－rr＝Cx12－3ryr，当r＝3时，x3·Cx3y3＝20x6y3；当r＝2时，－2y·Cx6y2＝－30x6y3，所以20x6y3－30x6y3＝－10x6y3，所以x6y3的系数为－10.故选A项． 二、填空题 6．若(1－ax)8展开式中第6项的系数为1 792，则实数a的值为________. 解析　由题意可得T6＝T5＋1＝C(－ax)5＝C(－a)5x5，所以C(－a)5＝－56a5＝1 792，所以a5＝－32，解得a＝－2. 答案　－2 7．已知n的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是________. 解析　依题意，2n＝128，解得n＝7，所以7的展开式的通项为Tr＋1＝Cx7－r·r＝(－2)rCx7－2r(r∈N*，r≤7)，由7－2r＝3得r＝2，所以所求展开式中x3项的系数是(－2)2C＝84. 答案　84 8．5展开式的常数项为________. 解析　方法一　当x>0时，5＝10，其展开式的通项为Tr＋1＝C()10－r·r＝(－1)rC()10－2r，当r＝5时，其为常数项，即－C＝－252；当x<0时，5＝－10，同理可得常数项为－C＝－252. 方法二　5＝，要得到常数项有以下方式：(1)5个式子都取－2相乘得(－2)5＝－32；(2)5个式子取1个x，余下的取1个，再余下的都取－2得CCC(－2)3＝－160；(3)5个式子取2个x，余下的取2个，再余下的都取－2得CCC(－2)1＝－60，所以所求常数项为(－32)＋(－160)＋(－60)＝－252. 答案　－252 三、解答题 9．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求： (1)a0＋a1＋…＋a7的值； (2)a0＋a2＋a4＋a6及a1＋a3＋a5＋a7的值． 解析　令f(x)＝(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a7x7. (1)a0＋a1＋…＋a7＝f(1)＝(1－2)7＝－1. (2)令x＝1，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(1－2)7＝－1，令x＝－1，则f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝(1＋2)7＝2 187，所以a0＋a2＋a4＋a6＝＝＝1 093，a1＋a3＋a5＋a7＝＝＝－1 094. 10．二项式n展开式前三项的二项式系数和为22. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中的常数项． 解析　(1)因为展开式前三项的二项式系数和为22，所以C＋C＋C＝22，所以n2＋n－42＝0，所以n＝6或n＝－7(舍)，故n的值为6. (2)由题可得，展开式中最大的二项式系数为C＝20，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，即T4＝C(2x)33＝1 280x. (3)展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r·r＝C·26x，令6－＝0，则r＝4，所以T4＋1＝26C＝960，故展开式中的常数项为960. 11．已知6(a>0)的展开式中含x－2的系数为60，则6的展开式中的常数项为(　　) A．－160 B．160 C．80 D．－80 答案　A 解析　6展开式