7.5 正态分布（Word教师用书）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版2019）

7.5　正态分布 课标解读 学法指导 1．通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量． 2．通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征． 3．了解正态分布的均值、方差及其含义. 1．通过图象了解正态曲线的特征，并结合概率与面积的关系来求服从正态分布的随机变量的概率． 2．结合服从正态分布的随机变量的概率密度曲线，记住随机变量在区间[μ－σ，μ＋σ], [μ－2σ，μ＋2σ]和[μ－3σ，μ＋3σ]上取值的概率. 问题导入 如图是一块高尔顿板示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内． 问题1：小球落在各小槽内的机会相同吗？ 提示　不相同． 问题2：落在哪几个小槽内的小球多？ 提示　落在中间几个小槽内的小球多． 微梳理 要点一　正态曲线 1．刻画随机误差分布的解析式为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数．称f(x)为__正态密度函数__，称它的图象为__正态密度曲线__，简称__正态曲线__. 2．特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值　　； (3)当|x|无限增大时，曲线无限接近__x__轴． 要点二　正态分布 1．定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为__X～N(μ，σ2)__.当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从__标准正态分布__. 2．期望与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.在实际问题中，参数μ，σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计． 3．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 思考：μ，σ取值不同对正态曲线有何影响？ 提示　若参数σ取固定值，则正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移；若μ取固定值，则对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1，因此当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中，当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)正态曲线是一条钟形曲线．(　　) (2)正态曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝σ对称．(　　) (3)正态曲线的对称轴的位置由μ确定，曲线形状由σ确定．(　　) 解析　(1)正确．由正态密度曲线的形状可知该说法正确． (2)错误．正态曲线关于直线x＝μ对称． (3)正确．根据正态分布的概念和曲线可知该说法正确． 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 类型一　正态曲线及其特点 【例题1】 (1)(多选)某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由图中的曲线可得下列说法中正确的是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数相同 (2)如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差． 解析　(1)由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选AD项． 答案　AD (2)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.由＝，解得σ＝.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝·，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 规律总结　 利用正态曲线的特点求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象可求μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ. [注意] 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 【变式1】 (1)函数f(x)＝ (其中μ＜0)的图象可能为(　　) (2)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1